Можешь помочь решить уравнения из упражнений 151-157?

151. 1) $\sqrt{x} = 2$. Чтобы избавиться от квадратного корня, нужно возвести обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 2^2$, значит, $x = 4$. 2) $\sqrt{x} = 7$. Аналогично, возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 7^2$, следовательно, $x = 49$. 3) $\sqrt[3]{x} = 2$. Здесь корень кубический, поэтому возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = 2^3$, значит, $x = 8$. 4) $\sqrt[3]{x} = -3$. Возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = (-3)^3$, следовательно, $x = -27$. 5) $\sqrt[3]{1-3x} = 0$. Возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{1-3x})^3 = 0^3$, получаем $1-3x = 0$. Теперь решаем простое линейное уравнение: $3x = 1$, значит, $x = \frac{1}{3}$. 6) $\sqrt[4]{x} = 1$. Возводим обе части в четвертую степень: $(\sqrt[4]{x})^4 = 1^4$, следовательно, $x = 1$. 7) $\sqrt[4]{2-x} = 0$. Возводим обе части в четвертую степень: $(\sqrt[4]{2-x})^4 = 0^4$, получаем $2-x = 0$, значит, $x = 2$. 152. 1) $\sqrt{x+1} = 3$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x+1})^2 = 3^2$, значит, $x+1 = 9$. Решаем уравнение: $x = 9-1$, следовательно, $x = 8$. 2) $\sqrt{x-2} = 5$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x-2})^2 = 5^2$, значит, $x-2 = 25$. Решаем уравнение: $x = 25+2$, следовательно, $x = 27$. 3) $\sqrt{4+x} = \sqrt{2x-1}$. Обе части уже под корнем, так что сразу возводим в квадрат: $(\sqrt{4+x})^2 = (\sqrt{2x-1})^2$, получаем $4+x = 2x-1$. Решаем уравнение: $2x - x = 4 + 1$, значит, $x = 5$. 153. 1) $\sqrt[3]{2x+3} = 1$. Возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{2x+3})^3 = 1^3$, значит, $2x+3 = 1$. Решаем уравнение: $2x = 1-3$, то есть $2x = -2$, следовательно, $x = -1$. 2) $\sqrt[3]{1-x} = 2$. Возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{1-x})^3 = 2^3$, значит, $1-x = 8$. Решаем уравнение: $-x = 8-1$, то есть $-x = 7$, следовательно, $x = -7$. 3) $\sqrt[3]{3x^2-3} = \sqrt[3]{8x}$. Возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{3x^2-3})^3 = (\sqrt[3]{8x})^3$, получаем $3x^2-3 = 8x$. Переносим все в одну сторону: $3x^2 - 8x - 3 = 0$. Теперь нужно решить квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$. Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня. Считаем их: $x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8+10}{6} = \frac{18}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8-10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. 154. 1) $x+1 = \sqrt{1-x}$. Возводим обе части в квадрат: $(x+1)^2 = (\sqrt{1-x})^2$, получаем $x^2 + 2x + 1 = 1 - x$. Переносим все в одну сторону: $x^2 + 2x + x + 1 - 1 = 0$, то есть $x^2 + 3x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(x+3) = 0$. Значит, либо $x = 0$, либо $x+3 = 0$, откуда $x = -3$. 2) $x = 1 + \sqrt{x+11}$. Переносим 1 в другую сторону: $x - 1 = \sqrt{x+11}$. Возводим обе части в квадрат: $(x-1)^2 = (\sqrt{x+11})^2$, получаем $x^2 - 2x + 1 = x + 11$. Переносим все в одну сторону: $x^2 - 2x - x + 1 - 11 = 0$, то есть $x^2 - 3x - 10 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3+7}{2} = \frac{10}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3-7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. 3) $\sqrt{x+3} = \sqrt{5-x}$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{5-x})^2$, получаем $x+3 = 5-x$. Решаем уравнение: $x + x = 5 - 3$, то есть $2x = 2$, следовательно, $x = 1$. 4) $\sqrt{x^2-x-3} = 3$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x^2-x-3})^2 = 3^2$, получаем $x^2 - x - 3 = 9$. Переносим все в одну сторону: $x^2 - x - 3 - 9 = 0$, то есть $x^2 - x - 12 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1+7}{2} = \frac{8}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1-7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. 155. 1) $\sqrt{x} - x = -12$. Выразим корень: $\sqrt{x} = x - 12$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (x - 12)^2$, получаем $x = x^2 - 24x + 144$. Переносим все в одну сторону: $x^2 - 24x - x + 144 = 0$, то есть $x^2 - 25x + 144 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-(-25) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25+7}{2} = \frac{32}{2} = 16$ и $x_2 = \frac{-(-25) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25-7}{2} = \frac{18}{2} = 9$. 2) $x + \sqrt{x} = 2(x-1)$. Раскрываем скобки: $x + \sqrt{x} = 2x - 2$. Выразим корень: $\sqrt{x} = 2x - x - 2$, то есть $\sqrt{x} = x - 2$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$, получаем $x = x^2 - 4x + 4$. Переносим все в одну сторону: $x^2 - 4x - x + 4 = 0$, то есть $x^2 - 5x + 4 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1$. 3) $\sqrt{x-1} = x - 3$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x-1})^2 = (x - 3)^2$, получаем $x - 1 = x^2 - 6x + 9$. Переносим все в одну сторону: $x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0$, то есть $x^2 - 7x + 10 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2} = 2$. 4) $\sqrt{6+x-x^2} = 1 - x$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{6+x-x^2})^2 = (1 - x)^2$, получаем $6 + x - x^2 = 1 - 2x + x^2$. Переносим все в одну сторону: $x^2 + x^2 - 2x - x - 6 + 1 = 0$, то есть $2x^2 - 3x - 5 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3+7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$ и $x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3-7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$. 156. 1) $\sqrt{2x-34} = 1 + \sqrt{x}$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{2x-34})^2 = (1 + \sqrt{x})^2$, получаем $2x - 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x$. Выразим корень: $2\sqrt{x} = 2x - x - 34 - 1$, то есть $2\sqrt{x} = x - 35$. Возводим обе части в квадрат: $(2\sqrt{x})^2 = (x - 35)^2$, получаем $4x = x^2 - 70x + 1225$. Переносим все в одну сторону: $x^2 - 70x - 4x + 1225 = 0$, то есть $x^2 - 74x + 1225 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-74)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1225 = 5476 - 4900 = 576$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-(-74) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{74+24}{2} = \frac{98}{2} = 49$ и $x_2 = \frac{-(-74) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{74-24}{2} = \frac{50}{2} = 25$. 2) $\sqrt{5x} + \sqrt{14-x} = 8$. Выразим один из корней: $\sqrt{5x} = 8 - \sqrt{14-x}$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{5x})^2 = (8 - \sqrt{14-x})^2$, получаем $5x = 64 - 16\sqrt{14-x} + 14 - x$. Выразим корень: $16\sqrt{14-x} = 64 + 14 - x - 5x$, то есть $16\sqrt{14-x} = 78 - 6x$. Делим обе части на 2: $8\sqrt{14-x} = 39 - 3x$. Возводим обе части в квадрат: $(8\sqrt{14-x})^2 = (39 - 3x)^2$, получаем $64(14-x) = 1521 - 234x + 9x^2$. Раскрываем скобки: $896 - 64x = 9x^2 - 234x + 1521$. Переносим все в одну сторону: $9x^2 - 234x + 64x + 1521 - 896 = 0$, то есть $9x^2 - 170x + 625 = 0$. Находим дискриминант: $D = (-170)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 625 = 28900 - 22500 = 6400$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-(-170) + \sqrt{6400}}{2 \cdot 9} = \frac{170+80}{18} = \frac{250}{18} = \frac{125}{9}$ и $x_2 = \frac{-(-170) - \sqrt{6400}}{2 \cdot 9} = \frac{170-80}{18} = \frac{90}{18} = 5$. 3) $\sqrt{15+x} + \sqrt{3+x} = 6$. Выразим один из корней: $\sqrt{15+x} = 6 - \sqrt{3+x}$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{15+x})^2 = (6 - \sqrt{3+x})^2$, получаем $15+x = 36 - 12\sqrt{3+x} + 3 + x$. Выразим корень: $12\sqrt{3+x} = 36 + 3 + x - 15 - x$, то есть $12\sqrt{3+x} = 24$. Делим обе части на 12: $\sqrt{3+x} = 2$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{3+x})^2 = 2^2$, получаем $3+x = 4$. Решаем уравнение: $x = 4 - 3$, следовательно, $x = 1$. 4) $\sqrt{3-2x} - \sqrt{1-x} = 1$. Выразим один из корней: $\sqrt{3-2x} = 1 + \sqrt{1-x}$. Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{3-2x})^2 = (1 + \sqrt{1-x})^2$, получаем $3-2x = 1 + 2\sqrt{1-x} + 1 - x$. Выразим корень: $2\sqrt{1-x} = 3 - 2x - 1 - 1 + x$, то есть $2\sqrt{1-x} = 1 - x$. Возводим обе части в квадрат: $(2\sqrt{1-x})^2 = (1 - x)^2$, получаем $4(1-x) = 1 - 2x + x^2$. Раскрываем скобки: $4 - 4x = x^2 - 2x + 1$. Переносим все в одну сторону: $x^2 - 2x + 4x + 1 - 4 = 0$, то есть $x^2 + 2x - 3 = 0$. Находим дискриминант: $D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$. Считаем корни: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. 157. 1) $\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^3+x^2} = 0$. Так как оба корня должны быть неотрицательными, а их сумма равна нулю, то каждый из них должен быть равен нулю: $\sqrt{x^2+2} = 0$ и $\sqrt{x^3+x^2} = 0$. Первое уравнение: $x^2 + 2 = 0$, то есть $x^2 = -2$. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений. Второе уравнение: $x^3 + x^2 = 0$. Выносим $x^2$ за скобки: $x^2(x+1) = 0$. Значит, либо $x^2 = 0$, то есть $x = 0$, либо $x+1 = 0$, то есть $x = -1$. Однако, как мы выяснили ранее, $\sqrt{x^2+2}$ не может равняться нулю. Значит, и сумма не может равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений. 2) $\sqrt[3]{1+x^4} = \sqrt[3]{1+x^2}$. Возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{1+x^4})^3 = (\sqrt[3]{1+x^2})^3$, получаем $1 + x^4 = 1 + x^2$. Переносим все в одну сторону: $x^4 - x^2 = 0$. Выносим $x^2$ за скобки: $x^2(x^2 - 1) = 0$. Значит, либо $x^2 = 0$, то есть $x = 0$, либо $x^2 - 1 = 0$, то есть $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что, спрашивай.