Докажи, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: a) ∠BAC= ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC

a) \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle BCA = \angle DAC \) 1. \( \angle BAC = \angle ACD \) говорит о том, что прямые AB и CD параллельны (т.к. \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) - накрест лежащие углы при секущей AC). 2. \( \angle BCA = \angle DAC \) говорит о том, что прямые BC и AD параллельны (т.к. \( \angle BCA \) и \( \angle DAC \) - накрест лежащие углы при секущей AC). 3. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм. б) \( AB \parallel CD, \angle A = \angle C \) 1. Проведём диагональ AC. 2. Рассмотрим углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \). Так как AB || CD, то \( \angle BAC = \angle ACD \) (накрест лежащие углы). 3. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \). У них: * AC - общая сторона, * \( \angle BAC = \angle ACD \), * \( \angle A = \angle C \) (углы A и C - это углы всего четырехугольника ABCD). 4. Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle CDA \) по стороне и двум прилежащим углам. 5. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и BC = DA. 6. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. **Доказано!**