Объясни, как решить неравенство (x - 4)²(x + 2) / (x - 5)³ ≤ 0

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Оно выглядит немного страшновато, но сейчас мы его разберем по полочкам. 1. **Находим нули числителя и знаменателя** * Числитель: $(x-4)^2(x+2) = 0$. Это происходит, когда $x = 4$ или $x = -2$. * Знаменатель: $(x-5)^3 = 0$. Это происходит, когда $x = 5$. 2. **Отмечаем эти точки на числовой прямой** * Рисуем прямую и отмечаем точки $-2$, $4$ и $5$. Важно помнить, что $x = 5$ - это точка, где функция не определена (деление на ноль), поэтому ставим её "выколотой" (пустой кружок). 3. **Определяем знаки на интервалах** * Берем число из каждого интервала и подставляем в исходное неравенство, чтобы узнать знак выражения на этом интервале. * Например: * $x < -2$: возьмем $x = -3$. Тогда $\frac{(-3-4)^2(-3+2)}{(-3-5)^3} = \frac{(+)}{(-)} < 0$. Знак минус. * $-2 < x < 4$: возьмем $x = 0$. Тогда $\frac{(0-4)^2(0+2)}{(0-5)^3} = \frac{(+)}{(-)} < 0$. Знак минус. * $4 < x < 5$: возьмем $x = 4.5$. Тогда $\frac{(4.5-4)^2(4.5+2)}{(4.5-5)^3} = \frac{(+)}{(-)} < 0$. Знак минус. * $x > 5$: возьмем $x = 6$. Тогда $\frac{(6-4)^2(6+2)}{(6-5)^3} = \frac{(+)}{(+)} > 0$. Знак плюс. 4. **Записываем решение** * Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Значит, выбираем интервалы со знаком минус. Не забываем включить точки, где числитель равен нулю (то есть $x = -2$ и $x = 4$), но исключаем точки, где знаменатель равен нулю (то есть $x = 5$). **Ответ:** $x \in [ -2; 5)$. Точка $x=4$ входит в этот интервал.