Можешь решить уравнения из номера 211?

Конечно, давай решим уравнения из твоего задания! 211. Решим уравнение: a) $(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38$ $$16x^2 - 24x - 2x + 3 - (16x^2 - 8x + 1) = 38$$ $$16x^2 - 26x + 3 - 16x^2 + 8x - 1 = 38$$ $$-18x + 2 = 38$$ $$-18x = 36$$ $$x = -2$ б) $\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3}$ $\frac{15x + 225x^2 - 1 - 15x}{3} = \frac{8}{3}$ $\frac{225x^2 - 1}{3} = \frac{8}{3}$ $225x^2 - 1 = 8$ $225x^2 = 9$ $x^2 = \frac{9}{225}$ $x = \pm \frac{3}{15}$ $x = \pm \frac{1}{5}$ в) $0,5y^3 - 0,5y (y + 1)(y - 3) = 7$ $0,5y^3 - 0,5y (y^2 - 3y + y - 3) = 7$ $0,5y^3 - 0,5y (y^2 - 2y - 3) = 7$ $0,5y^3 - 0,5y^3 + y^2 + 1,5y = 7$ $y^2 + 1,5y - 7 = 0$ $2y^2 + 3y - 14 = 0$ $D = 3^2 - 4 * 2 * (-14) = 9 + 112 = 121$ $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{4} = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{4} = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3,5$ г) $x^4 * x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}$ $x^6 = \frac{2x^2 - 1 + 4x^4 - 2x^2}{4}$ $4x^6 = 4x^4 - 1$ $4x^6 - 4x^4 + 1 = 0$ $(2x^3 - 1)^2 = 0$ $2x^3 - 1 = 0$ $2x^3 = 1$ $x^3 = \frac{1}{2}$ $x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ 212. Решим уравнение: a) $(6-x)(x+6) - (x-11)x = 36$ $36 - x^2 - (x^2 - 11x) = 36$ $36 - x^2 - x^2 + 11x = 36$ $-2x^2 + 11x = 0$ x(-2x + 11) = 0$ $x_1 = 0$ $-2x + 11 = 0$ $-2x = -11$ $x_2 = 5,5$ б) $9x^2 - \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1$ $36x^2 - (36x^2 + 96x - 33x - 88) = 4$ $36x^2 - 36x^2 - 63x + 88 = 4$ $-63x = -84$ $x = \frac{-84}{-63}$ $x = \frac{4}{3}$ в) $\frac{1 - 3y}{11} - \frac{3 - y}{5} = 0$ $\frac{5 - 15y - 33 + 11y}{55} = 0$ $-4y - 28 = 0$ $-4y = 28$ $y = -7$ г) $\frac{(y + 1)^2}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$ $\frac{y^2 + 2y + 1}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$ $\frac{2y^2 + 4y + 2 - 1 + y^2}{24} = 4$ $3y^2 + 4y + 1 = 96$ $3y^2 + 4y - 95 = 0$ $D = 4^2 - 4 * 3 * (-95) = 16 + 1140 = 1156$ $y_1 = \frac{-4 + \sqrt{1156}}{6} = \frac{-4 + 34}{6} = \frac{30}{6} = 5$ $y_2 = \frac{-4 - \sqrt{1156}}{6} = \frac{-4 - 34}{6} = \frac{-38}{6} = -6,\frac{1}{3}$ 213. Докажем, что уравнение $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 = 0$ не имеет корней. Поскольку все степени $x$ четные, то все слагаемые в левой части уравнения неотрицательны. Значит, $5x^6 + 6x^4 + x^2 + 4 > 0$ для любого $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней. 214. Может ли отрицательное число быть корнем уравнения $12x^5 + 7x^3 + 11x - 3 = 121$? Допущение: надо ответить на вопрос может ли число быть корнем уравнения, не решая его. Если $x < 0$, то $12x^5 < 0$, $7x^3 < 0$, $11x < 0$. Поэтому $12x^5 + 7x^3 + 11x - 3 < 0$ при $x < 0$. Так как $121 > 0$, то отрицательное число не может быть корнем уравнения. 215. Если ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на $513 см^3$. Чему равно ребро куба? Пусть ребро куба равно $a$ см. Тогда $(a + 3)^3 = a^3 + 513$. $(a + 3)^3 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27 = a^3 + 513$ $9a^2 + 27a + 27 = 513$ $9a^2 + 27a - 486 = 0$ $a^2 + 3a - 54 = 0$ $D = 3^2 - 4 * 1 * (-54) = 9 + 216 = 225$ $a_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $a_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ Так как длина ребра не может быть отрицательной, то $a = 6$ см. 216. Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа. Пусть первое число $x$, а второе $y$. Тогда $x = y + 5$ и $x^3 = y^3 + 3185$. $(y + 5)^3 = y^3 + 3185$ $y^3 + 15y^2 + 75y + 125 = y^3 + 3185$ $15y^2 + 75y - 3060 = 0$ $y^2 + 5y - 204 = 0$ $D = 5^2 - 4 * 1 * (-204) = 25 + 816 = 841$ $y_1 = \frac{-5 + \sqrt{841}}{2} = \frac{-5 + 29}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $y_2 = \frac{-5 - \sqrt{841}}{2} = \frac{-5 - 29}{2} = \frac{-34}{2} = -17$ Если $y = 12$, то $x = 12 + 5 = 17$. Если $y = -17$, то $x = -17 + 5 = -12$. 217. Решим уравнение: a) $y^3 - 6y = 0$ $y(y^2 - 6) = 0$ $y_1 = 0$ $y^2 - 6 = 0$ $y^2 = 6$ $y = \pm \sqrt{6}$ б) $6x^4 + 3,6x^2 = 0$ $6x^2(x^2 + 0,6) = 0$ $6x^2 = 0$ $x = 0$ $x^2 + 0,6 = 0$ $x^2 = -0,6$ Уравнение не имеет корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. в) $x^3 + 3x = 3,5x^2$ $x^3 - 3,5x^2 + 3x = 0$ $x(x^2 - 3,5x + 3) = 0$ $x_1 = 0$ $x^2 - 3,5x + 3 = 0$ $2x^2 - 7x + 6 = 0$ $D = (-7)^2 - 4 * 2 * 6 = 49 - 48 = 1$ $x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{4} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $x_3 = \frac{7 - \sqrt{1}}{4} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$ г) $x^3 - 0,1x = 0,3x^2$ $x^3 - 0,3x^2 - 0,1x = 0$ $10x^3 - 3x^2 - x = 0$ $x(10x^2 - 3x - 1) = 0$ $x_1 = 0$ $10x^2 - 3x - 1 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 * 10 * (-1) = 9 + 40 = 49$ $x_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{20} = \frac{3 + 7}{20} = \frac{10}{20} = 0,5$ $x_3 = \frac{3 - \sqrt{49}}{20} = \frac{3 - 7}{20} = \frac{-4}{20} = -0,2$ д) $9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0$ $9x^2(x - 2) - (x - 2) = 0$ $(x - 2)(9x^2 - 1) = 0$ $x - 2 = 0$ $x_1 = 2$ $9x^2 - 1 = 0$ $9x^2 = 1$ $x^2 = \frac{1}{9}$ $x = \pm \frac{1}{3}$ е) $y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0$ $y(y^3 - y^2 - 16y + 16) = 0$ $y = 0$ $y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$ $y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$ $(y - 1)(y^2 - 16) = 0$ $y - 1 = 0$ $y_2 = 1$ $y^2 - 16 = 0$ $y^2 = 16$ $y = \pm 4$ ж) $p^3 - p^2 = p - 1$ $p^3 - p^2 - p + 1 = 0$ $p^2(p - 1) - (p - 1) = 0$ $(p - 1)(p^2 - 1) = 0$ $p - 1 = 0$ $p_1 = 1$ $p^2 - 1 = 0$ $p^2 = 1$ $p = \pm 1$ з) $x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x$ $x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$ $x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$ $x_1 = 0$ $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ $x^2(x - 3) - (x - 3) = 0$ $(x - 3)(x^2 - 1) = 0$ $x - 3 = 0$ $x_2 = 3$ $x^2 - 1 = 0$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ 218. Решим уравнение: a) $3x^3 - x^2 + 18x - 6 = 0$ $x^2(3x - 1) + 6(3x - 1) = 0$ $(3x - 1)(x^2 + 6) = 0$ $3x - 1 = 0$ $3x = 1$ $x = \frac{1}{3}$ $x^2 + 6 = 0$ $x^2 = -6$ Уравнение не имеет корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. б) $2x^4 - 18x^2 = 5x^3 - 45x$ $2x^4 - 5x^3 - 18x^2 + 45x = 0$ $x(2x^3 - 5x^2 - 18x + 45) = 0$ $x_1 = 0$ $2x^3 - 5x^2 - 18x + 45 = 0$ $x^2(2x - 5) - 9(2x - 5) = 0$ $(2x - 5)(x^2 - 9) = 0$ $2x - 5 = 0$ $2x = 5$ $x_2 = 2,5$ $x^2 - 9 = 0$ $x^2 = 9$ $x = \pm 3$ 219. Решим уравнение: a) $x^3 + 7x^2 - 6 = 0$ Подбором находим корень $x = 1$: $1^3 + 7 * 1^2 - 6 = 1 + 7 - 6 = 2 \neq 0$ Подбором находим корень $x = -1$: $(-1)^3 + 7 * (-1)^2 - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$ Следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 7x^2 - 6$ на $x + 1$: $x^3 + 7x^2 - 6 = (x + 1)(x^2 + 6x - 6)$ Решим уравнение $x^2 + 6x - 6 = 0$: $D = 6^2 - 4 * 1 * (-6) = 36 + 24 = 60$ $x_1 = \frac{-6 + \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{15}}{2} = -3 + \sqrt{15}$ $x_2 = \frac{-6 - \sqrt{60}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{15}}{2} = -3 - \sqrt{15}$ б) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$ Подбором находим корень $x = 1$: $1^3 + 4 * 1^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$ Следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 5$ на $x - 1$: $x^3 + 4x^2 - 5 = (x - 1)(x^2 + 5x + 5)$ Решим уравнение $x^2 + 5x + 5 = 0$: $D = 5^2 - 4 * 1 * 5 = 25 - 20 = 5$ $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$ $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$ 220. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ с осями координат. Пересечение с осью $Ox$: $y = 0$ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ Подбором находим корень $x = 1$: $1^3 - 6 * 1^2 + 11 * 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ Следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на $x - 1$: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$ Решим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1$ $x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Точки пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$, $(2, 0)$, $(3, 0)$. Пересечение с осью $Oy$: $x = 0$ $y = 0^3 - 6 * 0^2 + 11 * 0 - 6 = -6$ Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, -6)$.