1. Чтобы упростить выражение $\frac{(a^7a^{-3})^{-2}}{a^{-6}}$, сначала упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$$(a^7a^{-3})^{-2} = (a^{7+(-3)})^{-2} = (a^4)^{-2}$$
Теперь используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$$(a^4)^{-2} = a^{4 \cdot (-2)} = a^{-8}$$
Далее, разделим $a^{-8}$ на $a^{-6}$, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$$\frac{a^{-8}}{a^{-6}} = a^{-8 - (-6)} = a^{-8 + 6} = a^{-2}$$
**Ответ: 4)
a^{-2}**
2. Чтобы найти значение выражения $(2a^2b)^3$ при $a = 0{,}5$ и $b = 2$, подставим значения $a$ и $b$ в выражение:
$$(2 \cdot (0{,}5)^2 \cdot 2)^3 = (2 \cdot 0{,}25 \cdot 2)^3 = (0{,}5 \cdot 2)^3 = 1^3 = 1$$
**Ответ: 2)
1**
3. Чтобы упростить выражение $\left(\frac{a^{-3}b^4}{5}\right) \cdot \left(\frac{5}{a^{-2}b^3}\right)^{-2}$, сначала упростим вторую скобку, используя свойство $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$:
$$\left(\frac{5}{a^{-2}b^3}\right)^{-2} = \left(\frac{a^{-2}b^3}{5}\right)^{2}$$
Теперь возведем в квадрат:
$$\left(\frac{a^{-2}b^3}{5}\right)^{2} = \frac{(a^{-2})^2(b^3)^2}{5^2} = \frac{a^{-4}b^6}{25}$$
Теперь перемножим первую скобку на результат:
$$\frac{a^{-3}b^4}{5} \cdot \frac{a^{-4}b^6}{25} = \frac{a^{-3}a^{-4}b^4b^6}{5 \cdot 25} = \frac{a^{-7}b^{10}}{125}$$
Запишем $125$ как $\frac{1}{0{,}008}$, тогда:
$$\frac{a^{-7}b^{10}}{125} = 0{,}008a^{-7}b^{10}$$
Так как в предложенных ответах нет такого варианта, возможно, в условии есть опечатка. Предположим, что в условии первая скобка имеет вид $\left(\frac{a^{-3}b^4}{5}\right)^{-1}$. Тогда решение будет следующим:
Допущение: в условии первая скобка имеет вид $\left(\frac{a^{-3}b^4}{5}\right)^{-1}$.
Сначала упростим первую скобку, используя свойство $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$:
$$\left(\frac{a^{-3}b^4}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{a^{-3}b^4}$$
Теперь упростим вторую скобку, как и раньше:
$$\left(\frac{5}{a^{-2}b^3}\right)^{-2} = \left(\frac{a^{-2}b^3}{5}\right)^{2} = \frac{(a^{-2})^2(b^3)^2}{5^2} = \frac{a^{-4}b^6}{25}$$
Теперь перемножим первую скобку на результат:
$$\frac{5}{a^{-3}b^4} \cdot \frac{a^{-4}b^6}{25} = \frac{5a^{-4}b^6}{25a^{-3}b^4} = \frac{a^{-4-(-3)}b^{6-4}}{5} = \frac{a^{-1}b^2}{5} = \frac{b^2}{5a}$$
**Ответ: 4)
$\frac{b^{-2}}{5a}$**
4. Проверим каждое из равенств:
1) $\left(\frac{8^2n}{m^3}\right)^4 = \left(\frac{4^3n}{m}\right)^4$
Упростим левую часть: $\frac{(8^2)^4n^4}{(m^3)^4} = \frac{8^8n^4}{m^{12}} = \frac{(2^3)^8n^4}{m^{12}} = \frac{2^{24}n^4}{m^{12}}$
Упростим правую часть: $\frac{(4^3)^4n^4}{m^4} = \frac{4^{12}n^4}{m^4} = \frac{(2^2)^{12}n^4}{m^4} = \frac{2^{24}n^4}{m^4}$
Равенство неверно, так как $m^{12} \neq m^4$.
2) $(n^3m^5)^2 = n^6m^{10}$
Упростим левую часть: $(n^3)^2(m^5)^2 = n^{3 \cdot 2}m^{5 \cdot 2} = n^6m^{10}$.
Равенство верно.
**Ответ: 2)
$(n^3m^5)^2 = n^6m^{10}$**
5. Сравним $x^2$ и $x^3$, если известно, что $0 < x < 2$.
Возьмем пример: пусть $x = 1$. Тогда $x^2 = 1^2 = 1$ и $x^3 = 1^3 = 1$. В этом случае $x^2 = x^3$.
Возьмем другой пример: пусть $x = 0{,}5$. Тогда $x^2 = (0{,}5)^2 = 0{,}25$ и $x^3 = (0{,}5)^3 = 0{,}125$. В этом случае $x^2 > x^3$.
Возьмем третий пример: пусть $x = 1{,}5$. Тогда $x^2 = (1{,}5)^2 = 2{,}25$ и $x^3 = (1{,}5)^3 = 3{,}375$. В этом случае $x^2 < x^3$.
Поскольку при разных значениях $x$ результаты сравнения разные, для сравнения не хватает данных.
**Ответ: 4)
для сравнения не хватает данных**
6. Найдите значение выражения $(2{,}4 \cdot 10^{-3}) \cdot (3 \cdot 10^{-2})$.
Перемножим числа и степени отдельно:
$2{,}4 \cdot 3 = 7{,}2$
$10^{-3} \cdot 10^{-2} = 10^{-3 + (-2)} = 10^{-5}$
Теперь объединим результаты:
$7{,}2 \cdot 10^{-5} = 0{,}000072$
**Ответ: 3)
0,000072**
