Можешь ли ты проверить, являются ли b₁ = 7, b₄ = -7, b₁₁ = 7 членами геометрической прогрессии?

Давай решим эти задачки вместе! 1) Чтобы проверить, являются ли числа членами геометрической прогрессии, нужно убедиться, что отношение между соседними членами постоянно. В данном случае: - $b_1 = 7$ - $b_4 = -7$ - $b_{11} = 7$ Отношение между $b_1$ и $b_4$ равно $-1$ (так как $-7 / 7 = -1$). Чтобы от $b_4$ дойти до $b_{11}$, нужно пройти 7 шагов. Если $b_{11} = 7$, то отношение между $b_4$ и $b_{11}$ тоже должно быть $-1$. Но это не так, значит, эти числа не являются членами геометрической прогрессии. **Ответ: Нет, не являются.** 2) Дано: $b_2 = -1$, $b_5 = 0,125$. Нужно найти $b_7$, $b_{11}$, $q$ и $S$ (сумму бесконечной геометрической прогрессии). Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Мы знаем, что $b_5 = b_2 * q^3$. Подставим известные значения: $$0,125 = -1 * q^3$$ $$q^3 = -0,125$$ $$q = -0,5$$ Теперь найдем $b_7$ и $b_{11}$: $$b_7 = b_5 * q^2 = 0,125 * (-0,5)^2 = 0,125 * 0,25 = 0,03125$$ $$b_{11} = b_7 * q^4 = 0,03125 * (-0,5)^4 = 0,03125 * 0,0625 = 0,001953125$$ Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$, используем формулу $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Сначала найдем $b_1$: $$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-1}{-0,5} = 2$$ Теперь найдем $S$: $$S = \frac{2}{1 - (-0,5)} = \frac{2}{1,5} = \frac{4}{3} \approx 1,333$$ **Ответ: $b_7 = 0,03125$, $b_{11} = 0,001953125$, $q = -0,5$, $S = \frac{4}{3}$** 3) Дано: $b_5 = 3$, $b_8 = 3\sqrt[5]{27}$. Нужно найти $b_7$, $b_4$, $q$ и $S_5$ (сумму первых пяти членов). Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Мы знаем, что $b_8 = b_5 * q^3$. Подставим известные значения: $$3\sqrt[5]{27} = 3 * q^3$$ $$q^3 = \sqrt[5]{27}$$ $$q = \sqrt[15]{27} = \sqrt[5]{3}$$ Теперь найдем $b_7$ и $b_4$: $$b_7 = b_5 * q^2 = 3 * (\sqrt[5]{3})^2 = 3 * \sqrt[5]{9}$$ $$b_4 = \frac{b_5}{q} = \frac{3}{\sqrt[5]{3}} = 3 * 3^{-\frac{1}{5}} = 3^{\frac{4}{5}}$$ Чтобы найти сумму первых пяти членов $S_5$, используем формулу $S_5 = \frac{b_1 * (1 - q^5)}{1 - q}$. Сначала найдем $b_1$: $$b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{3}{(\sqrt[5]{3})^4} = \frac{3}{3^{\frac{4}{5}}} = 3^{\frac{1}{5}}$$ Теперь найдем $S_5$: $$S_5 = \frac{3^{\frac{1}{5}} * (1 - (\sqrt[5]{3})^5)}{1 - \sqrt[5]{3}} = \frac{3^{\frac{1}{5}} * (1 - 3)}{1 - \sqrt[5]{3}} = \frac{3^{\frac{1}{5}} * (-2)}{1 - \sqrt[5]{3}}$$ **Ответ: $b_7 = 3\sqrt[5]{9}$, $b_4 = 3^{\frac{4}{5}}$, $q = \sqrt[5]{3}$, $S_5 = \frac{3^{\frac{1}{5}} * (-2)}{1 - \sqrt[5]{3}}$** 4) Дано: $b_3 = 0,027$, $b_5 = 0,00243$. Нужно найти возможные значения $q$. Мы знаем, что $b_5 = b_3 * q^2$. Подставим известные значения: $$0,00243 = 0,027 * q^2$$ $$q^2 = \frac{0,00243}{0,027} = 0,09$$ $$q = \pm \sqrt{0,09} = \pm 0,3$$ **Ответ: $q = 0,3$ или $q = -0,3$**