Объясни, как доказать неравенства в номерах 9, 10, 11 и 12

Привет! Давай разберемся с этими неравенствами. Постараюсь объяснить так, чтобы было понятно. 9. Доказать, что при любом значении переменной верно неравенство: 1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$ Раскрываем скобки с обеих сторон: $p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$ $p^2 + p - 12 < p^2 + p$ Вычитаем $(p^2 + p)$ из обеих частей: $-12 < 0$ Так как $-12$ всегда меньше $0$, неравенство верно при любом значении $p$. 2) $(x + 1)^2 > x(x + 2)$ Раскрываем скобки: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$ Вычитаем $(x^2 + 2x)$ из обеих частей: $1 > 0$ Так как $1$ всегда больше $0$, неравенство верно при любом значении $x$. 3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$ Раскрываем скобки: $a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$ $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$ Вычитаем $(a^2 - 3a)$ из обеих частей: $-10 > -40$ Так как $-10$ всегда больше $-40$, неравенство верно при любом значении $a$. 4) $y(y + 8) < (y + 4)^2$ Раскрываем скобки: $y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$ Вычитаем $(y^2 + 8y)$ из обеих частей: $0 < 16$ Так как $0$ всегда меньше $16$, неравенство верно при любом значении $y$. 5) $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$ Раскрываем скобки: $4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$ Вычитаем $(-20a + 25)$ из обеих частей: $4a^2 \le 6a^2$ Вычитаем $4a^2$ из обеих частей: $0 \le 2a^2$ Так как $2a^2$ всегда больше или равно $0$, неравенство верно при любом значении $a$. 6) $a^2 + 4 \ge 4a$ Переносим $4a$ в левую часть: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$ $(a - 2)^2 \ge 0$ Квадрат любого числа всегда больше или равен $0$, неравенство верно при любом значении $a$. 10. Верно ли утверждение: 1) если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$; Это верно, если $b > 0$. Если $b < 0$, то $\frac{a}{b} < 1$. Например: $a = 2$, $b = 1$, тогда $\frac{2}{1} = 2 > 1$. Но если $a = 2$, $b = -1$, тогда $\frac{2}{-1} = -2 < 1$. 2) если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$; Это верно, так как если $a > 1$, то при делении $2$ на число больше $1$, результат будет меньше $2$. Например: $a = 2$, тогда $\frac{2}{2} = 1 < 2$. 3) если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$; Это верно, если $a > 0$. Например: $a = 0.5$, тогда $\frac{2}{0.5} = 4 > 2$. Если $a < 0$, то $\frac{2}{a} < 2$. 4) если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$; Это верно, если $b > 0$. Если $b < 0$, то $a < b$. Например: $\frac{2}{1} = 2 > 1$, и $2 > 1$. Но если $\frac{2}{-1} = -2 < 1$, и $2 > -1$. 5) если $a^2 > 1$, то $a > 1$? Не всегда. Например, если $a = -2$, то $a^2 = (-2)^2 = 4 > 1$, но $a = -2 < 1$. 11. Докажите неравенство: 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$ Разделим на $2$: $a^2 - 4a + 8 > 0$ Выделим полный квадрат: $(a - 2)^2 + 4 > 0$ Так как $(a - 2)^2$ всегда больше или равно $0$, то $(a - 2)^2 + 4$ всегда больше $0$. 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$ Выделим полный квадрат: $(2b + 1)^2 + 2 > 0$ Так как $(2b + 1)^2$ всегда больше или равно $0$, то $(2b + 1)^2 + 2$ всегда больше $0$. 3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ Умножим на $2$: $2a^2 + 2ab + 2b^2 \ge 0$ Преобразуем: $a^2 + a^2 + 2ab + b^2 + b^2 \ge 0$ $a^2 + (a + b)^2 + b^2 \ge 0$ Так как $a^2$, $(a + b)^2$ и $b^2$ всегда больше или равно $0$, то их сумма тоже больше или равна $0$. 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$ Раскрываем скобки: $6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$ $6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 > 12a - 36$ $2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$ Вычитаем $12a$ из обеих частей: $2a^2 - 33 > -36$ $2a^2 > -3$ Так как $2a^2$ всегда больше или равно $0$, а $-3 < 0$, неравенство верно при любом значении $a$. 5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$ Раскрываем скобки: $a^2 - 3a > 5a - 20$ $a^2 - 8a + 20 > 0$ Выделим полный квадрат: $(a - 4)^2 + 4 > 0$ Так как $(a - 4)^2$ всегда больше или равно $0$, то $(a - 4)^2 + 4$ всегда больше $0$. 6) $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$ Раскрываем скобки: $a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \le 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab$ $a^2 + 4ab - 5b^2 \le 2a^2 + 10ab + 4b^2$ $0 \le a^2 + 6ab + 9b^2$ $0 \le (a + 3b)^2$ Так как $(a + 3b)^2$ всегда больше или равно $0$, неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$. 12. Докажите неравенство: 1) $28a - 32 \le 7a^2 - 4$ Переносим все в правую часть: $0 \le 7a^2 - 28a + 28$ Делим на $7$: $0 \le a^2 - 4a + 4$ $0 \le (a - 2)^2$ Так как $(a - 2)^2$ всегда больше или равно $0$, неравенство верно при любом значении $a$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!