a) Давай упростим выражение $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$.
Сначала разберемся со скобками. Когда возводим степень в степень, показатели перемножаются: $(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$.
Теперь у нас выражение выглядит так: $7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $7^5 \cdot 7^8 = 7^{5+8} = 7^{13}$.
Теперь деление: $7^{13} : 7^{11}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2$.
И, наконец, $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
г) Разберёмся с выражением $10^{10} : (5^{-2})^{18} : 25^{14}$.
Сначала упростим скобки: $(5^{-2})^{18} = 5^{-2 \cdot 18} = 5^{-36}$.
Теперь перепишем выражение: $10^{10} : 5^{-36} : 25^{14}$.
Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому $25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$.
Теперь выражение выглядит так: $10^{10} : 5^{-36} : 5^{28}$.
Разделим $10^{10}$ как $(2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$.
Теперь выражение можно переписать так: $2^{10} \cdot 5^{10} : 5^{-36} : 5^{28}$.
При делении степени вычитаются, значит $5^{10} : 5^{-36} = 5^{10 - (-36)} = 5^{10 + 36} = 5^{46}$.
Теперь поделим на $5^{28}$: $5^{46} : 5^{28} = 5^{46 - 28} = 5^{18}$.
В итоге получается: $2^{10} \cdot 5^{18}$. Это можно записать как $2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 5^8 = (2 \cdot 5)^{10} \cdot 5^8 = 10^{10} \cdot 5^8$.
Можно оставить так: $10^{10} \cdot 5^8$ или посчитать $2^{10} \cdot 5^{18} = 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 5^8 = 10^{10} \cdot 5^8 = 10000000000 \cdot 390625 = 3906250000000$.
б) Упростим выражение $11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}$.
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $11^{-4} : 11^{13} = 11^{-4 - 13} = 11^{-17}$.
Теперь поделим на $11^{17}$: $11^{-17} : 11^{17} = 11^{-17 - 17} = 11^{-34}$.
в) Давай упростим выражение $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$.
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $5^9 : 5^{-12} = 5^{9 - (-12)} = 5^{9 + 12} = 5^{21}$.
Теперь поделим на $5^{20}$: $5^{21} : 5^{20} = 5^{21 - 20} = 5^1 = 5$.
д) Упростим выражение $\frac{15^5 \cdot 12^5}{3^8 \cdot 5^4 \cdot 3^6 \cdot 4^6}$.
Сначала разложим числа на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$, $4 = 2^2$.
Теперь перепишем выражение: $\frac{(3 \cdot 5)^5 \cdot (3 \cdot 2^2)^5}{3^8 \cdot 5^4 \cdot 3^6 \cdot (2^2)^6}$.
Раскроем скобки: $\frac{3^5 \cdot 5^5 \cdot 3^5 \cdot 2^{10}}{3^8 \cdot 5^4 \cdot 3^6 \cdot 2^{12}}$.
Сгруппируем одинаковые основания: $\frac{3^{5+5} \cdot 5^5 \cdot 2^{10}}{3^{8+6} \cdot 5^4 \cdot 2^{12}} = \frac{3^{10} \cdot 5^5 \cdot 2^{10}}{3^{14} \cdot 5^4 \cdot 2^{12}}$.
Теперь сократим степени с одинаковым основанием: $3^{10} : 3^{14} = 3^{10-14} = 3^{-4}$, $5^5 : 5^4 = 5^{5-4} = 5^1 = 5$, $2^{10} : 2^{12} = 2^{10-12} = 2^{-2}$.
В итоге получается: $\frac{5}{3^4 \cdot 2^2} = \frac{5}{81 \cdot 4} = \frac{5}{324}$.
e) Выражение $\frac{2^8 \cdot 5^9}{17^6 \cdot 8^3} : \frac{10^{10}}{34^7}$ можно упростить так:
Преобразуем $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$ и $10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$, а также $34^7 = (2 \cdot 17)^7 = 2^7 \cdot 17^7$.
Исходное выражение можно переписать так: $\frac{2^8 \cdot 5^9}{17^6 \cdot 2^9} : \frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^7 \cdot 17^7}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{2^8 \cdot 5^9}{17^6 \cdot 2^9} \cdot \frac{2^7 \cdot 17^7}{2^{10} \cdot 5^{10}}$.
Перегруппируем множители: $\frac{2^8 \cdot 5^9 \cdot 2^7 \cdot 17^7}{17^6 \cdot 2^9 \cdot 2^{10} \cdot 5^{10}}$.
Соберем степени с одинаковым основанием: $\frac{2^{8+7} \cdot 5^9 \cdot 17^7}{2^{9+10} \cdot 5^{10} \cdot 17^6} = \frac{2^{15} \cdot 5^9 \cdot 17^7}{2^{19} \cdot 5^{10} \cdot 17^6}$.
Сократим степени с одинаковым основанием: $2^{15} : 2^{19} = 2^{15-19} = 2^{-4}$, $5^9 : 5^{10} = 5^{9-10} = 5^{-1}$, $17^7 : 17^6 = 17^{7-6} = 17^1 = 17$.
Получается: $\frac{17}{2^4 \cdot 5} = \frac{17}{16 \cdot 5} = \frac{17}{80}$.
