Реши примеры из варианта 2: 1) Найди $tg \alpha$, если $sin \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Конечно, решим эти примеры вместе! 1. Чтобы найти $tg \alpha$, зная $sin \alpha = -\frac{4}{5}$ и что $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (это третья четверть, где тангенс положительный), сначала найдем $cos \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. $$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ Так как $\alpha$ в третьей четверти, $cos \alpha$ отрицательный: $cos \alpha = -\frac{3}{5}$. Теперь найдем $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$. **Правильный ответ: Г** 2. Чтобы вычислить $cos 105^\circ$, можно использовать формулу косинуса суммы углов: $cos(a + b) = cos a \cdot cos b - sin a \cdot sin b$. $cos 105^\circ = cos(60^\circ + 45^\circ) = cos 60^\circ \cdot cos 45^\circ - sin 60^\circ \cdot sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$. **Правильный ответ: Б** 3. Чтобы найти значение выражения $sin \frac{17\pi}{6}$, можно упростить угол, учитывая периодичность синуса ($2\pi$). $\frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi + 5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$. $sin \frac{17\pi}{6} = sin \frac{5\pi}{6} = sin (\pi - \frac{\pi}{6}) = sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. **Правильный ответ: А** 4. Упростим дробь $\frac{sin 6\alpha - sin 2\alpha}{cos 6\alpha + cos 2\alpha}$, используя формулы преобразования разности синусов и суммы косинусов: $sin 6\alpha - sin 2\alpha = 2 \cdot cos \frac{6\alpha + 2\alpha}{2} \cdot sin \frac{6\alpha - 2\alpha}{2} = 2 \cdot cos 4\alpha \cdot sin 2\alpha$. $cos 6\alpha + cos 2\alpha = 2 \cdot cos \frac{6\alpha + 2\alpha}{2} \cdot cos \frac{6\alpha - 2\alpha}{2} = 2 \cdot cos 4\alpha \cdot cos 2\alpha$. Тогда $\frac{sin 6\alpha - sin 2\alpha}{cos 6\alpha + cos 2\alpha} = \frac{2 \cdot cos 4\alpha \cdot sin 2\alpha}{2 \cdot cos 4\alpha \cdot cos 2\alpha} = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} = tg 2\alpha$. **Правильный ответ: Б** 5. Упростим выражение $(1 - cos 6\alpha) \cdot ctg 3\alpha$. Используем формулу $1 - cos 6\alpha = 2 sin^2 3\alpha$. Тогда $(1 - cos 6\alpha) \cdot ctg 3\alpha = 2 sin^2 3\alpha \cdot \frac{cos 3\alpha}{sin 3\alpha} = 2 sin 3\alpha \cdot cos 3\alpha = sin 6\alpha$. **Ответ: $\sin 6\alpha$**