Ты просишь решить задачу: Теплоход проплыл 48 км по течению реки и 42 км по озеру, затратив на весь путь 6 часов. Найди собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Конечно, сейчас помогу! **1. a)** Давай решим задачу про теплоход. Пусть $v$ – собственная скорость теплохода (в км/ч). Тогда скорость по течению реки будет $v + 2$ км/ч, а время, которое теплоход плыл по течению, равно $\frac{48}{v + 2}$ часов. Время, которое теплоход плыл по озеру, равно $\frac{42}{v}$ часов. Известно, что всего он был в пути 6 часов. Получаем уравнение: $$\frac{48}{v + 2} + \frac{42}{v} = 6$$ Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Умножим обе части уравнения на $v(v + 2)$: $$48v + 42(v + 2) = 6v(v + 2)$$ Раскроем скобки и упростим: $$48v + 42v + 84 = 6v^2 + 12v$$ $$90v + 84 = 6v^2 + 12v$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получилось квадратное уравнение: $$6v^2 - 78v - 84 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 6, чтобы упростить его: $$v^2 - 13v - 14 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 169 + 56 = 225$$ Так как дискриминант положителен, у нас будет два корня: $$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{225}}{2} = \frac{13 + 15}{2} = \frac{28}{2} = 14$$ $$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{225}}{2} = \frac{13 - 15}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то подходит только $v_1 = 14$ км/ч. **Ответ: Собственная скорость теплохода равна 14 км/ч.** **2. a)** Упростим выражение $\frac{a^5 a^{-8}}{a^{-2}}$ при $a = 6$: Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $a^5 a^{-8} = a^{5 + (-8)} = a^{-3}$. Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{a^{-3}}{a^{-2}}$. Когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $\frac{a^{-3}}{a^{-2}} = a^{-3 - (-2)} = a^{-3 + 2} = a^{-1}$. Итак, у нас получилось $a^{-1}$, что равно $\frac{1}{a}$. Теперь подставим $a = 6$: $\frac{1}{6}$. **Ответ: $\frac{1}{6}$** **2. б)** Упростим выражение $(c^5 c^{-3})^{-1}$ при $c = \frac{1}{3}$: Сначала упростим выражение в скобках: $c^5 c^{-3} = c^{5 + (-3)} = c^2$. Теперь у нас есть $(c^2)^{-1}$. Когда степень возводится в степень, показатели перемножаются: $(c^2)^{-1} = c^{2 \cdot (-1)} = c^{-2}$. Итак, у нас получилось $c^{-2}$, что равно $\frac{1}{c^2}$. Теперь подставим $c = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$. **Ответ: 9** **2. в)** Упростим выражение $\frac{m^6 m^{-\frac{2}{5}}}{m^{-3} m^7}$ при $m = 0,5$: Сначала упростим числитель: $m^6 m^{-\frac{2}{5}} = m^{6 - \frac{2}{5}} = m^{\frac{30}{5} - \frac{2}{5}} = m^{\frac{28}{5}}$. Теперь упростим знаменатель: $m^{-3} m^7 = m^{-3 + 7} = m^4$. Теперь у нас есть $\frac{m^{\frac{28}{5}}}{m^4}$. Разделим степени: $\frac{m^{\frac{28}{5}}}{m^4} = m^{\frac{28}{5} - 4} = m^{\frac{28}{5} - \frac{20}{5}} = m^{\frac{8}{5}}$. Итак, у нас получилось $m^{\frac{8}{5}}$. Теперь подставим $m = 0,5 = \frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2})^{\frac{8}{5}} = (2^{-1})^{\frac{8}{5}} = 2^{-\frac{8}{5}}$. **Ответ: $2^{-\frac{8}{5}}$** **2. г)** Упростим выражение $\frac{n^{-5} |n^{-1}|^{-9}}{n^{-4} n^{10}}$ при $n = 10$: Так как $n = 10$, то $|n^{-1}| = |10^{-1}| = \frac{1}{10}$. Теперь упростим числитель: $n^{-5} (n^{-1})^{-9} = n^{-5} n^{(-1) \cdot (-9)} = n^{-5} n^9 = n^{-5 + 9} = n^4$. Теперь упростим знаменатель: $n^{-4} n^{10} = n^{-4 + 10} = n^6$. Теперь у нас есть $\frac{n^4}{n^6}$. Разделим степени: $\frac{n^4}{n^6} = n^{4 - 6} = n^{-2}$. Итак, у нас получилось $n^{-2}$, что равно $\frac{1}{n^2}$. Теперь подставим $n = 10$: $\frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$. **Ответ: 0,01** **3. a)** Сократим дробь $\frac{6x^2 - 19x + 13}{2x^2 + 7x - 9}$: Сначала разложим на множители числитель $6x^2 - 19x + 13$. Корни этого квадратного трехчлена можно найти, решив уравнение $6x^2 - 19x + 13 = 0$. Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 13 = 361 - 312 = 49$. Корни: $x_1 = \frac{19 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{19 + 7}{12} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}$ и $x_2 = \frac{19 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{19 - 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$. Значит, $6x^2 - 19x + 13 = 6(x - \frac{13}{6})(x - 1) = (6x - 13)(x - 1)$. Теперь разложим на множители знаменатель $2x^2 + 7x - 9$. Корни этого квадратного трехчлена можно найти, решив уравнение $2x^2 + 7x - 9 = 0$. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$. Корни: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$. Значит, $2x^2 + 7x - 9 = 2(x - 1)(x + \frac{9}{2}) = (x - 1)(2x + 9)$. Теперь у нас есть дробь $\frac{(6x - 13)(x - 1)}{(x - 1)(2x + 9)}$. Мы можем сократить $(x - 1)$ в числителе и знаменателе. Итак, у нас получилось $\frac{6x - 13}{2x + 9}$. **Ответ: $\frac{6x - 13}{2x + 9}$** **3. б)** Сократим дробь $\frac{21x^2 + x - 2}{2 + 5x - 3x^2}$: Сначала разложим на множители числитель $21x^2 + x - 2$. Корни этого квадратного трехчлена можно найти, решив уравнение $21x^2 + x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-2) = 1 + 168 = 169$. Корни: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{-1 + 13}{42} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{-1 - 13}{42} = \frac{-14}{42} = -\frac{1}{3}$. Значит, $21x^2 + x - 2 = 21(x - \frac{2}{7})(x + \frac{1}{3}) = (7x - 2)(3x + 1)$. Теперь разложим на множители знаменатель $2 + 5x - 3x^2 = -3x^2 + 5x + 2$. Корни этого квадратного трехчлена можно найти, решив уравнение $-3x^2 + 5x + 2 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 25 + 24 = 49$. Корни: $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-5 + 7}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-5 - 7}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$. Значит, $-3x^2 + 5x + 2 = -3(x + \frac{1}{3})(x - 2) = -(3x + 1)(x - 2)$. Теперь у нас есть дробь $\frac{(7x - 2)(3x + 1)}{-(3x + 1)(x - 2)}$. Мы можем сократить $(3x + 1)$ в числителе и знаменателе. Итак, у нас получилось $\frac{7x - 2}{-(x - 2)} = \frac{7x - 2}{2 - x}$. **Ответ: $\frac{7x - 2}{2 - x}$**