Реши задачу: 10. Рис. 22. ABCD – трапеция. Найди: SABCD.

10. Давай найдём площадь трапеции $ABCD$ на рисунке 22. **Допущение:** $ABCD$ - прямоугольная трапеция, так как углы $A$ и $B$ прямые. Площадь трапеции можно найти по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где $a$ и $b$ - основания, а $h$ - высота. В нашем случае, $AD$ и $BC$ - основания, а $AB$ - высота. Так как трапеция описана около окружности, $AB = AD + BC$. Обозначим радиус окружности за $r$. Тогда $BC = r - DE = r - 16$, $AD = r - CE = r - 9$. Получаем $AB = (r - 16) + (r - 9) = 2r - 25$. С другой стороны, $AB = 2r$. Приравниваем выражения для $AB$: $2r = 2r - 25$. Получается, что-то не так, нужно дополнительное условие. **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно знать, является ли $ABCD$ прямоугольной трапецией или нет, и точное значение радиуса окружности или длины стороны. 11. Найдём угол $BEC$ на рисунке 23. Угол $BEC$ - вписанный, и он опирается на дугу $BC$. Угол $BDC$ - тоже вписанный и опирается на ту же дугу $BC$. Значит, угол $BEC$ равен углу $BDC$, то есть $40^\circ$. **Ответ: $\angle BEC = 40^\circ$** 12. Найдём $AM$ и $MC$ на рисунке 24, если $AC = 13$. **Допущение:** Точка $M$ лежит на отрезке $AC$. По теореме о пересекающихся хордах: $AM \cdot MC = BM \cdot MD$. Подставим известные значения: $AM \cdot MC = 4.5 \cdot 8 = 36$. Пусть $AM = x$, тогда $MC = AC - AM = 13 - x$. Получаем уравнение: $x(13 - x) = 36$. Раскрываем скобки: $13x - x^2 = 36$. Переносим всё в одну сторону: $x^2 - 13x + 36 = 0$. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$. Корни: $$x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$$ Таким образом, $AM$ может быть равен 9 или 4. Если $AM = 9$, то $MC = 13 - 9 = 4$. Если $AM = 4$, то $MC = 13 - 4 = 9$. **Ответ: $AM = 9$, $MC = 4$ или $AM = 4$, $MC = 9$**