Реши задачу: отрезки AB и CD — диаметры окружности; докажи, что а) хорды BD и AC равны.

Давай решим эту задачу вместе! Она про окружность и диаметры. Вот как можно это доказать: а) Нужно доказать, что хорды BD и AC равны. Так как AB и CD - диаметры, то углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ - вписанные и опираются на диаметр, значит, они прямые, то есть равны $90^\circ$. Кроме того, $AB = CD$ (как диаметры одной и той же окружности). Значит, треугольники $BAC$ и $BDC$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что $BD = AC$. б) Теперь докажем, что хорды AD и BC равны. Рассмотрим треугольники $AOD$ и $BOC$, где $O$ - центр окружности. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ - вертикальные, а значит, равны. Стороны $AO$, $OD$, $BO$ и $OC$ - радиусы окружности, поэтому $AO = OD = BO = OC$. Следовательно, треугольники $AOD$ и $BOC$ равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство сторон $AD$ и $BC$. в) И, наконец, докажем, что $\angle BAD = \angle BCD$. Так как $AD = BC$ (из предыдущего пункта), то дуги, на которые опираются эти хорды, тоже равны: $ дугаAD = дугаBC$. Угол $\angle BAD$ - вписанный и опирается на дугу $BD$, а угол $\angle BCD$ - вписанный и опирается на дугу $BC$. Поскольку $\angle BAD$ и $\angle BCD$ опираются на равные дуги, то они равны.