Реши неравенство и расставь знаки на числовой прямой: (3x-4)²/(x-3) ≥ (16-24x+9x²)/(15-8x+x²)

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Выглядит оно вот так: $$\frac{(3x-4)^2}{x-3} \geq \frac{16-24x+9x^2}{15-8x+x^2}$$ Сначала заметим, что $16-24x+9x^2$ это то же самое, что $(3x-4)^2$. Тогда неравенство можно переписать как: $$\frac{(3x-4)^2}{x-3} \geq \frac{(3x-4)^2}{15-8x+x^2}$$ Перенесём всё в одну сторону, чтобы справа остался ноль: $$\frac{(3x-4)^2}{x-3} - \frac{(3x-4)^2}{15-8x+x^2} \geq 0$$ Вынесем $(3x-4)^2$ за скобки: $$(3x-4)^2 \left(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{15-8x+x^2}\right) \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю в скобках: $$(3x-4)^2 \left(\frac{15-8x+x^2 - (x-3)}{(x-3)(15-8x+x^2)}\right) \geq 0$$ Упростим выражение в скобках: $$(3x-4)^2 \left(\frac{x^2 - 9x + 18}{(x-3)(x^2-8x+15)}\right) \geq 0$$ Разложим квадратные трёхчлены на множители. Для $x^2 - 9x + 18$ корни 6 и 3, а для $x^2 - 8x + 15$ корни 5 и 3. Тогда получим: $$(3x-4)^2 \frac{(x-6)(x-3)}{(x-3)(x-5)(x-3)} \geq 0$$ Сократим $(x-3)$ в числителе и знаменателе (помни, что $x \neq 3$): $$(3x-4)^2 \frac{x-6}{(x-5)(x-3)^2} \geq 0$$ Теперь нужно понять, где эта штука больше или равна нулю. Давай отметим на числовой прямой точки, где выражение меняет знак. Это точки, где числитель или знаменатель равен нулю. Важно помнить, что на ноль делить нельзя, поэтому точки из знаменателя будут "выколотыми" (не включены в решение). 1. $(3x-4)^2 = 0$ при $x = \frac{4}{3}$. Это точка, где выражение равно нулю. 2. $x - 6 = 0$ при $x = 6$. Это точка, где числитель меняет знак. 3. $x - 5 = 0$ при $x = 5$. Это точка, где знаменатель меняет знак (выколотая). 4. $(x-3)^2 = 0$ при $x = 3$. Это точка, где знаменатель равен нулю (выколотая). Теперь нарисуем числовую прямую и отметим эти точки: ``` ---(4/3)---(3)---(5)---(6)---> X ``` Расставим знаки на интервалах. Берём любое число из каждого интервала и подставляем в неравенство, чтобы понять, какой знак будет на этом интервале. Например: * Если $x = 0$, то выражение отрицательное. * Если $x = 1.5$, то выражение отрицательное. * Если $x = 4$, то выражение положительное. * Если $x = 5.5$, то выражение отрицательное. * Если $x = 7$, то выражение положительное. Тогда решение будет таким: * $x = \frac{4}{3}$ (так как там выражение равно нулю) * $3 < x < 5$ * $x \geq 6$ **Ответ:** $x = \frac{4}{3}$ или $x \in (3; 5) \cup [6; +\infty)$ Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!