Найди стороны и углы параллелограмма MNPQ, если известно, что MH=3см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

В параллелограмме $MNPQ$ проведён перпендикуляр $NH$ к прямой $MQ$, причём точка $H$ лежит на стороне $MQ$. Нужно найти стороны и углы параллелограмма, если известны $MH = 3$ см, $HQ = 5$ см и $\angle MNH = 30^\circ$. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MNH$. В нём известны катет $MH$ и угол $MNH$. Можно найти катет $NH$: $$\tan(\angle MNH) = \frac{MH}{NH}$$ $$NH = \frac{MH}{\tan(\angle MNH)} = \frac{3}{\tan(30^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 3\sqrt{3}$$ 2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $NHQ$. В нём известны катет $HQ = 5$ и катет $NH = 3\sqrt{3}$. Можно найти гипотенузу $NQ$: $$NQ = \sqrt{NH^2 + HQ^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 5^2} = \sqrt{27 + 25} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ 3. Так как $MNPQ$ - параллелограмм, то $MN = PQ$ и $MQ = NP$. Также $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см. Значит, $NP = 8$ см. 4. Стороны параллелограмма: $MN = PQ = 2\sqrt{13}$ см, $MQ = NP = 8$ см. 5. Чтобы найти углы, сначала найдём угол $QNH$: $$\tan(\angle QNH) = \frac{HQ}{NH} = \frac{5}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{9}$$ $$\angle QNH = \arctan(\frac{5\sqrt{3}}{9}) \approx 43.9^\circ$$ 6. $\angle MNQ = \angle MNH + \angle QNH = 30^\circ + 43.9^\circ = 73.9^\circ$ 7. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. $$\angle MNP = 180^\circ - \angle MNQ = 180^\circ - 73.9^\circ = 106.1^\circ$$ $$\angle MPQ = \angle MNQ = 73.9^\circ$$ $$\angle NMQ = \angle NPQ = 106.1^\circ$$ **Ответ:** Стороны параллелограмма: $MN = PQ = 2\sqrt{13}$ см, $MQ = NP = 8$ см. Углы параллелограмма: $\angle MNP = \angle MPQ = 73.9^\circ$, $\angle NMQ = \angle NPQ = 106.1^\circ$.