Помоги мне упростить выражение (³√a + ³√b)² - (³√a - ³√b)² и показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если b₂ = -81, S₂ = 162

Задача 5. Чтобы упростить выражение $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[3]{a})^2 + 2(\sqrt[3]{a})(\sqrt[3]{b}) + (\sqrt[3]{b})^2 = a^{2/3} + 2\sqrt[3]{ab} + b^{2/3}$ $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[3]{a})^2 - 2(\sqrt[3]{a})(\sqrt[3]{b}) + (\sqrt[3]{b})^2 = a^{2/3} - 2\sqrt[3]{ab} + b^{2/3}$ Теперь вычтем второе выражение из первого: $(a^{2/3} + 2\sqrt[3]{ab} + b^{2/3}) - (a^{2/3} - 2\sqrt[3]{ab} + b^{2/3}) = a^{2/3} + 2\sqrt[3]{ab} + b^{2/3} - a^{2/3} + 2\sqrt[3]{ab} - b^{2/3}$ $a^{2/3}$ и $b^{2/3}$ взаимно уничтожаются, остаётся: $2\sqrt[3]{ab} + 2\sqrt[3]{ab} = 4\sqrt[3]{ab}$ **Ответ: $4\sqrt[3]{ab}$** Задача 106, пункт 1. Нужно показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если $b_2 = -81$ и $S_2 = 162$. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - это такая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше 1, то есть $|q| < 1$. Сумма первых двух членов геометрической прогрессии ($S_2$) вычисляется по формуле: $S_2 = b_1 + b_2$. Нам дано $b_2 = -81$ и $S_2 = 162$. Подставим эти значения в формулу для $S_2$: $162 = b_1 + (-81)$ $b_1 = 162 + 81 = 243$ Теперь найдём знаменатель прогрессии ($q$). Мы знаем, что $b_2 = b_1 "." q$. Следовательно: $-81 = 243 "." q$ $q = -81 / 243 = -1/3$ Теперь проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$: $|-1/3| = 1/3 < 1$ Так как модуль знаменателя меньше 1, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Задача 106, пункт 2. Дано: $b_2 = 33$, $S_2 = 67$. Нужно показать, что прогрессия бесконечно убывающая, то есть $|q| < 1$. Сумма первых двух членов: $S_2 = b_1 + b_2$ $67 = b_1 + 33$ $b_1 = 67 - 33 = 34$ Знаменатель прогрессии: $q = b_2 / b_1 = 33 / 34$ Проверим условие $|q| < 1$: $|33/34| = 33/34 < 1$ Так как модуль знаменателя меньше 1, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Задача 106, пункт 3. Дано: $b_1 + b_3 = 130$, $b_1 - b_3 = 120$. Нужно показать, что $|q| < 1$. У нас есть система уравнений: $\begin{cases} b_1 + b_3 = 130 \\ b_1 - b_3 = 120 \end{cases}$ Сложим эти два уравнения: $(b_1 + b_3) + (b_1 - b_3) = 130 + 120$ $2b_1 = 250$ $b_1 = 125$ Теперь найдём $b_3$, подставив значение $b_1$ в одно из уравнений, например, в первое: $125 + b_3 = 130$ $b_3 = 130 - 125 = 5$ Теперь найдём знаменатель $q$. Мы знаем, что $b_3 = b_1 "." q^2$. Следовательно: $5 = 125 "." q^2$ $q^2 = 5 / 125 = 1 / 25$ $q = \pm \sqrt{1/25} = \pm 1/5$ В обоих случаях $|q| < 1$, то есть $|1/5| < 1$ и $|-1/5| < 1$. Значит, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Задача 106, пункт 4. Дано: $b_2 + b_4 = 68$, $b_2 - b_4 = 60$. Нужно показать, что $|q| < 1$. У нас есть система уравнений: $\begin{cases} b_2 + b_4 = 68 \\ b_2 - b_4 = 60 \end{cases}$ Сложим эти два уравнения: $(b_2 + b_4) + (b_2 - b_4) = 68 + 60$ $2b_2 = 128$ $b_2 = 64$ Теперь найдём $b_4$, подставив значение $b_2$ в одно из уравнений, например, в первое: $64 + b_4 = 68$ $b_4 = 68 - 64 = 4$ Мы знаем, что $b_4 = b_2 "." q^2$. Следовательно: $4 = 64 "." q^2$ $q^2 = 4 / 64 = 1 / 16$ $q = \pm \sqrt{1/16} = \pm 1/4$ В обоих случаях $|q| < 1$, то есть $|1/4| < 1$ и $|-1/4| < 1$. Значит, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.