Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение sqrt(x^4 - 4x^2 + 9a^2) = x^2 + 2x - 3a имеет ровно три различных корня.

Question

Вопрос:

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение sqrt(x^4 - 4x^2 + 9a^2) = x^2 + 2x - 3a имеет ровно три различных корня.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Уравнение: $\sqrt{x^4 - 4x^2 + 9a^2} = x^2 + 2x - 3a$ Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая условие $x^2 + 2x - 3a \ge 0$: $x^4 - 4x^2 + 9a^2 = (x^2 + 2x - 3a)^2$ $x^4 - 4x^2 + 9a^2 = x^4 + 4x^2 + 9a^2 + 4x^3 - 6a x^2 - 12ax$ Сократим одинаковые слагаемые ($x^4$ и $9a^2$): $-4x^2 = 4x^2 + 4x^3 - 6ax^2 - 12ax$ $4x^3 + 8x^2 - 6ax^2 - 12ax = 0$ $2x(2x^2 + 4x - 3ax - 6a) = 0$ $2x(2x(x + 2) - 3a(x + 2)) = 0$ $2x(x + 2)(2x - 3a) = 0$ Корни уравнения: 1) $x_1 = 0$ 2) $x_2 = -2$ 3) $x_3 = 1.5a$ Чтобы уравнение имело ровно три различных корня, необходимо, чтобы $x_1, x_2, x_3$ были различны, и для каждого из них выполнялось условие $x^2 + 2x - 3a \ge 0$. 1) $x_1 = 0 \implies 0^2 + 2(0) - 3a \ge 0 \implies -3a \ge 0 \implies a \le 0$ 2) $x_2 = -2 \implies (-2)^2 + 2(-2) - 3a \ge 0 \implies 4 - 4 - 3a \ge 0 \implies -3a \ge 0 \implies a \le 0$ 3) $x_3 = 1.5a \implies (1.5a)^2 + 2(1.5a) - 3a \ge 0 \implies 2.25a^2 + 3a - 3a \ge 0 \implies 2.25a^2 \ge 0$. Это верно при любом $a$. Теперь найдем условия, при которых $x_1, x_2, x_3$ различны: - $x_3 \neq x_1 \implies 1.5a \neq 0 \implies a \neq 0$ - $x_3 \neq x_2 \implies 1.5a \neq -2 \implies a \neq -4/3$ Следовательно, для того чтобы было три корня, нужно $a \le 0$ и $a \neq 0, a \neq -4/3$. **Ответ: $a \in (-\infty; -4/3) \cup (-4/3; 0)$**

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение sqrt(x^4 - 4x^2 + 9a^2) = x^2 + 2x - 3a имеет ровно три различных корня.

Ответ ассистента

Другие решения