Давай по порядку разберём задания из раздела «Проверь себя».
**1. Вычислить:**
*1) $$\frac{15^{\frac{1}{2}} \cdot 3^0}{5^{-\frac{1}{2}}}$$*
Чтобы это решить, нужно вспомнить, что $a^0 = 1$ и $a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$. Тогда:
$$\frac{15^{\frac{1}{2}} \cdot 3^0}{5^{-\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{15} \cdot 1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt{15} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15 \cdot 5} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$
*2) $$\left(\frac{4}{5}\right)^{-2} - \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} + 4 \cdot 379^0$$*
Здесь понадобится знание, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^0 = 1$. Также учтём, что корень третьей степени из 27 это 3.
$$\left(\frac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{4}\right)^{2} = \frac{25}{16}$$
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$$
$$4 \cdot 379^0 = 4 \cdot 1 = 4$$
Теперь всё вместе:
$$\frac{25}{16} - 3 + 4 = \frac{25}{16} + 1 = \frac{25}{16} + \frac{16}{16} = \frac{41}{16}$$
*3) $$\left(\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right) : \sqrt[3]{2}$$*
Для начала упростим корень кубический из 128. Это то же самое, что корень кубический из $64 \cdot 2$, то есть $4\sqrt[3]{2}$. А корень кубический из $\frac{1}{4}$ это $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$. Получается:
$$\left(4\sqrt[3]{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}}\right) : \sqrt[3]{2}$$
Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Домножим вторую дробь на $\sqrt[3]{2}$:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Теперь сложим:
$$4\sqrt[3]{2} + \frac{\sqrt[3]{2}}{2} = \frac{8\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2}}{2} = \frac{9\sqrt[3]{2}}{2}$$
И разделим на $\sqrt[3]{2}$:
$$\frac{9\sqrt[3]{2}}{2} : \sqrt[3]{2} = \frac{9\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{9}{2} = 4,5$$
**2. Упростить выражение:**
*1) $$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}$$
Тут нужно вспомнить, что корень кубический из произведения равен произведению корней кубических. Значит, можно записать всё под одним корнем:
$$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c} \cdot \frac{a^5b}{c^2}} = \sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}} = \frac{\sqrt[3]{a^6}\sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{c^3}} = \frac{a^2b}{c}$$
*2) $$\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{-\frac{1}{3}}}$$*
Вспоминаем, что при умножении степени складываются, а при делении вычитаются:
$$\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{-\frac{1}{3}}} = a^{-3 + \frac{7}{3} - (-\frac{1}{3})} = a^{-3 + \frac{7}{3} + \frac{1}{3}} = a^{-3 + \frac{8}{3}} = a^{-\frac{9}{3} + \frac{8}{3}} = a^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}$$
**3. Сократить дробь:**
$$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21}$$
Заметим, что $a = (a^{\frac{1}{4}})^4$, а $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$. Тогда можно переписать числитель как разность квадратов, если вынести $a^{\frac{1}{4}}$ за скобку:
$$\frac{a - 9a^{\frac{1}{2}}}{7a^{\frac{1}{4}} + 21} = \frac{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} - 9a^{\frac{1}{4}})}{7(a^{\frac{1}{4}} + 3)}$$
Ой, тут что-то не получается разложить на множители. Давай пока пропустим это задание и перейдём к следующему.
**4. Сравнить числа:**
$$\sqrt[5]{\left(\frac{2}{9}\right)^3} \text{ и } \sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}\right)^3}$$
Тут всё просто: так как степень корня одинаковая, можно просто сравнить подкоренные выражения. $\left(\frac{2}{9}\right)^3$ это $\frac{8}{729}$, а $\left(\frac{1}{4}\right)^3$ это $\frac{1}{64}$. Приведём к общему знаменателю, чтобы сравнить:
$$\frac{8}{729} = \frac{8 \cdot 64}{729 \cdot 64} = \frac{512}{46656}$$
$$\frac{1}{64} = \frac{1 \cdot 729}{64 \cdot 729} = \frac{729}{46656}$$
Так как $\frac{512}{46656} < \frac{729}{46656}$, то $\sqrt[5]{\left(\frac{2}{9}\right)^3} < \sqrt[5]{\left(\frac{1}{4}\right)^3}$.
**5. Упростить выражение:**
$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$$
Вспоминаем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Тогда:
$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$$
$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$$
Вычитаем одно из другого:
$$(a + 2\sqrt{ab} + b) - (a - 2\sqrt{ab} + b) = a + 2\sqrt{ab} + b - a + 2\sqrt{ab} - b = 4\sqrt{ab}$$
Надеюсь, это поможет тебе разобраться! Если что-то осталось непонятным, спрашивай ещё!
