Реши задачи 12, 13, 14, 15, 16 по геометрии

12. Дано: $AC$ – биссектриса $\angle BAE$; $\angle CDE : \angle AED = 7:8$ (рис. 17). Найти: $\angle DEF$. **Решение:** Допущение: $\angle BAE$ и $\angle AED$ — смежные. Тогда $\angle BAE + \angle AED = 180°$. Пусть $x$ – коэффициент пропорциональности, тогда $\angle CDE = 7x$, $\angle AED = 8x$. $\angle BAE = 2 \cdot \angle CAE$, так как $AC$ - биссектриса. Значит, $2 \cdot \angle CAE + 8x = 180°$. $\angle CAE = (180° - 8x) / 2 = 90° - 4x$. $\angle DAE = \angle CAE = 90° - 4x$. $\angle DAE + \angle AED + \angle CDE = 180°$ (сумма углов треугольника $ADE$). $90° - 4x + 8x + 7x = 180°$. $11x = 90°$. $x = 90°/11 \approx 8,18°$. $\angle AED = 8x \approx 8 \cdot 8,18° \approx 65,44°$. $\angle CDE = 7x \approx 7 \cdot 8,18° \approx 57,26°$. $\angle DEF = 180° - \angle AED = 180° - 65,44° \approx 114,56°$. **Ответ:** $\angle DEF \approx 114,56°$ 13. Дано: $\angle B$ на $20°$ больше $\angle C$ (рис. 18). Найти: $\angle B, \angle C$. **Решение:** $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ (сумма углов треугольника). $\angle A = 40°$ (дано на рисунке). Пусть $\angle C = x$, тогда $\angle B = x + 20°$. $40° + x + 20° + x = 180°$. $2x = 120°$. $x = 60°$. $\angle C = 60°$. $\angle B = 60° + 20° = 80°$. **Ответ:** $\angle B = 80°$, $\angle C = 60°$. 14. Дано: $\angle A$ в 3 раза меньше $\angle B$ (рис. 19). Найти: $\angle A, \angle B$. **Решение:** Допущение: Треугольник $ABC$ прямоугольный, $\angle C = 90°$. Пусть $\angle A = x$, тогда $\angle B = 3x$. $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ (сумма углов треугольника). $x + 3x + 90° = 180°$. $4x = 90°$. $x = 22,5°$. $\angle A = 22,5°$. $\angle B = 3 \cdot 22,5° = 67,5°$. **Ответ:** $\angle A = 22,5°$, $\angle B = 67,5°$. 15. Рис. 20. Найти: $\angle BCD$. **Решение:** Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $AB = BC$ (указано на рисунке). $\angle BAC = \angle BCA$ (углы при основании равнобедренного треугольника). $\angle BAC = \angle BCA = (180° - 50°) / 2 = 65°$. $\angle BCD = 180° - \angle BCA = 180° - 65° = 115°$ ($\angle BCA$ и $\angle BCD$ - смежные). **Ответ:** $\angle BCD = 115°$. 16. Рис. 21. Найти: $\angle ABC$. **Решение:** Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $AB = BC$ (указано на рисунке). $BD$ – высота, а в равнобедренном треугольнике высота является и биссектрисой. $\angle ABD = \angle CBD$. $\angle BCA = \angle BAC = 42°$ (углы при основании равнобедренного треугольника). $\angle ABC = 180° - \angle BCA - \angle BAC = 180° - 42° - 42° = 96°$. **Ответ:** $\angle ABC = 96°$.