Ты просишь найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: a) y = (2x – 1)²(x - 2), [-1; 2]

Конечно, давай решим задачу 46.16 под буквой a. Тебе нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = (2x - 1)^2(x - 2)$ на отрезке $[-1; 2]$. Вот как это можно сделать: 1. **Находим производную функции:** Сначала раскроем скобки, чтобы было проще дифференцировать: $$y = (4x^2 - 4x + 1)(x - 2) = 4x^3 - 8x^2 - 4x^2 + 8x + x - 2 = 4x^3 - 12x^2 + 9x - 2$$ Теперь найдем производную: $$y' = 12x^2 - 24x + 9$$ 2. **Находим критические точки:** Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение: $$12x^2 - 24x + 9 = 0$$ Разделим обе части на 3: $$4x^2 - 8x + 3 = 0$$ Используем дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$$ $$x_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$$ $$x_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5$$ 3. **Проверяем, входят ли критические точки в заданный отрезок $[-1; 2]$:** Обе точки $x_1 = 1,5$ и $x_2 = 0,5$ входят в отрезок. 4. **Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:** $$y(-1) = (2(-1) - 1)^2(-1 - 2) = (-3)^2(-3) = 9(-3) = -27$$ $$y(2) = (2(2) - 1)^2(2 - 2) = (3)^2(0) = 0$$ $$y(0,5) = (2(0,5) - 1)^2(0,5 - 2) = (1 - 1)^2(-1,5) = 0$$ $$y(1,5) = (2(1,5) - 1)^2(1,5 - 2) = (3 - 1)^2(-0,5) = (2)^2(-0,5) = 4(-0,5) = -2$$ 5. **Выбираем наибольшее и наименьшее значения:** Наименьшее значение: $-27$ (при $x = -1$) Наибольшее значение: $0$ (при $x = 2$ и $x = 0,5$) **Ответ:** Наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ равно $-27$, наибольшее значение равно $0$. --- Теперь решим задачу 46.16 под буквой б. Тебе нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{x^2}{x^2 - 2x - 1}$ на отрезке $[0; 2]$. Вот как это можно сделать: 1. **Находим производную функции:** Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ $$y' = \frac{(x^2)'(x^2 - 2x - 1) - x^2(x^2 - 2x - 1)'}{(x^2 - 2x - 1)^2}$$ $$y' = \frac{2x(x^2 - 2x - 1) - x^2(2x - 2)}{(x^2 - 2x - 1)^2}$$ $$y' = \frac{2x^3 - 4x^2 - 2x - 2x^3 + 2x^2}{(x^2 - 2x - 1)^2}$$ $$y' = \frac{-2x^2 - 2x}{(x^2 - 2x - 1)^2}$$ 2. **Находим критические точки:** Приравниваем производную к нулю: $$\frac{-2x^2 - 2x}{(x^2 - 2x - 1)^2} = 0$$ Числитель должен быть равен нулю: $$-2x^2 - 2x = 0$$ $$-2x(x + 1) = 0$$ Отсюда $x = 0$ или $x = -1$. 3. **Проверяем, входят ли критические точки в заданный отрезок $[0; 2]$:** Точка $x = 0$ входит в отрезок, а $x = -1$ не входит. 4. **Проверяем, есть ли точки, где знаменатель $(x^2 - 2x - 1)^2$ равен нулю:** Решаем уравнение $x^2 - 2x - 1 = 0$. $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$ $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} \approx 2,414$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} \approx -0,414$$ Точка $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ не входит в отрезок $[0; 2]$, но близка к его концу. 5. **Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:** $$y(0) = \frac{0^2}{0^2 - 2(0) - 1} = \frac{0}{-1} = 0$$ $$y(2) = \frac{2^2}{2^2 - 2(2) - 1} = \frac{4}{4 - 4 - 1} = \frac{4}{-1} = -4$$ 6. **Вычисляем значение функции в точке, где знаменатель близок к нулю:** Рассмотрим точку $x = 1 + \sqrt{2} - 0,001 = 2,413$. Она лежит вне отрезка, но позволяет оценить поведение функции вблизи асимптоты. $$y(1 + \sqrt{2} - 0,001) \approx \frac{(2,413)^2}{(2,413)^2 - 2(2,413) - 1} = \frac{5,822}{5,822 - 4,826 - 1} = \frac{5,822}{-0,004} \approx -1455,5$$ 7. **Выбираем наибольшее и наименьшее значения:** Наименьшее значение: $-4$ (при $x = 2$) Наибольшее значение: $0$ (при $x = 0$) **Ответ:** Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ равно $-4$, наибольшее значение равно $0$. --- Теперь решим задачу 46.16 под буквой в. Тебе нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = (x + 4)(3x + 1)^2$ на отрезке $[-2; -\frac{1}{2}]$. Вот как это можно сделать: 1. **Находим производную функции:** $$y = (x + 4)(9x^2 + 6x + 1) = 9x^3 + 6x^2 + x + 36x^2 + 24x + 4 = 9x^3 + 42x^2 + 25x + 4$$ $$y' = 27x^2 + 84x + 25$$ 2. **Находим критические точки:** Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение: $$27x^2 + 84x + 25 = 0$$ Используем дискриминант: $$D = 84^2 - 4 \cdot 27 \cdot 25 = 7056 - 2700 = 4356$$ $$x_1 = \frac{-84 + \sqrt{4356}}{54} = \frac{-84 + 66}{54} = \frac{-18}{54} = -\frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-84 - \sqrt{4356}}{54} = \frac{-84 - 66}{54} = \frac{-150}{54} = -\frac{25}{9} \approx -2,78$$ 3. **Проверяем, входят ли критические точки в заданный отрезок $[-2; -\frac{1}{2}]$:** Точка $x_1 = -\frac{1}{3}$ не входит в отрезок, а $x_2 = -\frac{25}{9}$ не входит в отрезок. 4. **Вычисляем значения функции на концах отрезка:** $$y(-2) = (-2 + 4)(3(-2) + 1)^2 = (2)(-6 + 1)^2 = 2(-5)^2 = 2(25) = 50$$ $$y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2} + 4)(3(-\frac{1}{2}) + 1)^2 = (\frac{7}{2})(-\frac{3}{2} + 1)^2 = (\frac{7}{2})(-\frac{1}{2})^2 = (\frac{7}{2})(\frac{1}{4}) = \frac{7}{8} = 0,875$$ 5. **Выбираем наибольшее и наименьшее значения:** Наименьшее значение: $\frac{7}{8}$ (при $x = -\frac{1}{2}$) Наибольшее значение: $50$ (при $x = -2$) **Ответ:** Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; -\frac{1}{2}]$ равно $\frac{7}{8}$, наибольшее значение равно $50$.