2 cos 2x + 4 cos (3π/2 - x) + 1 = 0

Для решения уравнения $2\cos(2x) + 4\cos(\frac{3\pi}{2} - x) + 1 = 0$ воспользуемся формулами приведения и тригонометрическими тождествами. 1. Преобразуем выражение $\cos(\frac{3\pi}{2} - x)$. По формуле приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin(x)$. 2. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $2(1 - 2\sin^2(x)) + 4(-\sin(x)) + 1 = 0$ $2 - 4\sin^2(x) - 4\sin(x) + 1 = 0$ $-4\sin^2(x) - 4\sin(x) + 3 = 0$ Умножим на $-1$ для удобства: $4\sin^2(x) + 4\sin(x) - 3 = 0$ 4. Введем замену $t = \sin(x)$, где $t \in [-1; 1]$: $4t^2 + 4t - 3 = 0$ Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$. $\sqrt{D} = 8$. Корни: $t_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = 0,5$; $t_2 = \frac{-4 - 8}{8} = -1,5$ (не подходит, так как $|t| \le 1$). 5. Решим уравнение $\sin(x) = 0,5$: $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 6. Отберем корни на отрезке $[\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ с помощью единичной окружности: - Отрезок $[\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ включает нижнюю полуокружность, затем левую часть и верхнюю часть, до точки $3\pi$. - Точка $\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (в первой четверти) при $n=1$ дает $\frac{13\pi}{6} \approx 2,16\pi$. Она попадает в интервал. - Точка $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (во второй четверти) при $n=1$ дает $\frac{17\pi}{6} \approx 2,83\pi$. Она также попадает в интервал. Проверка: - $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$ - $3\pi$ - $\frac{13\pi}{6} = 2\frac{1}{6}\pi \in [1,5\pi; 3\pi]$ - $\frac{17\pi}{6} = 2\frac{5}{6}\pi \in [1,5\pi; 3\pi]$ **Ответ:** $\frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}$