Как решить уравнение 3cos(2x) + sin(x)² + sin(x)cos(x) = 0?

Чтобы решить уравнение $3 \cos(2x) + \sin^2(x) + \sin(x) \cos(x) = 0$, нам нужно использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить его. 1. Вспомним формулу двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$. Подставим её в уравнение: $$3(\cos^2(x) - \sin^2(x)) + \sin^2(x) + \sin(x) \cos(x) = 0$$ 2. Раскроем скобки: $$3\cos^2(x) - 3\sin^2(x) + \sin^2(x) + \sin(x) \cos(x) = 0$$ 3. Упростим, сгруппировав подобные члены: $$3\cos^2(x) - 2\sin^2(x) + \sin(x) \cos(x) = 0$$ 4. Теперь можно попробовать выразить всё через косинус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$: $$3\cos^2(x) - 2(1 - \cos^2(x)) + \sin(x) \cos(x) = 0$$ 5. Раскроем скобки и упростим: $$3\cos^2(x) - 2 + 2\cos^2(x) + \sin(x) \cos(x) = 0$$ $$5\cos^2(x) + \sin(x) \cos(x) - 2 = 0$$ 6. Разделим обе части уравнения на $\cos^2(x)$ (Допущение: $\cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число): $$5 + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{2}{\cos^2(x)} = 0$$ 7. Заменим $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ на $\tan(x)$, и $\frac{1}{\cos^2(x)}$ на $1 + \tan^2(x)$: $$5 + \tan(x) - 2(1 + \tan^2(x)) = 0$$ 8. Раскроем скобки и перегруппируем члены: $$5 + \tan(x) - 2 - 2\tan^2(x) = 0$$ $$-2\tan^2(x) + \tan(x) + 3 = 0$$ 9. Умножим на -1 для удобства: $$2\tan^2(x) - \tan(x) - 3 = 0$$ 10. Решим квадратное уравнение относительно $\tan(x)$. Пусть $t = \tan(x)$, тогда уравнение будет таким: $$2t^2 - t - 3 = 0$$ 11. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$. 12. Найдем корни: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ 13. Теперь найдем значения $x$: а) $\tan(x) = \frac{3}{2}$, значит, $x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k$, где $k$ - целое число. б) $\tan(x) = -1$, значит, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - целое число. **Ответ:** $x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k$ и $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - целое число.