Объясни, как найти длины векторов BD, CD и AC в прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A, если основание AD равно 12 см, AB = 5 см, ∠D=45°.

Для решения задачи №6 нам понадобится вспомнить свойства прямоугольной трапеции и уметь находить стороны прямоугольного треугольника. 1. Найдём длину вектора $\vec{AC}$. В трапеции $ABCD$ угол $A$ прямой, значит, треугольник $ABC$ - прямоугольный. По теореме Пифагора: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$. Нам известна длина $AB = 5$ см, но не известна длина $AD$. Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Тогда $AH = BC$, а $HD = AD - AH = AD - BC$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ угол $D$ равен $45^\circ$, значит, этот треугольник равнобедренный, и $CH = HD$. Так как $CH = AB = 5$ см, то и $HD = 5$ см. Получаем: $$AD - BC = 5$$. $$12 - BC = 5$$. $$BC = 12 - 5 = 7 \text{ см}$$. Теперь можем найти $AC$: $$AC = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \approx 8,6 \text{ см}$$. 2. Найдём длину вектора $\vec{BD}$. Рассмотрим треугольник $ABD$ - прямоугольный. По теореме Пифагора: $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$. 3. Найдём длину вектора $\vec{CD}$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ по теореме Пифагора: $$CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7,1 \text{ см}$$. **Ответ:** $AC \approx 8,6$ см, $BD = 13$ см, $CD \approx 7,1$ см. --- Для задачи №7: а) В параллелограмме $MNPQ$ коллинеарные векторы - это противоположные стороны, то есть $\vec{MN}$ и $\vec{QP}$, $\vec{MQ}$ и $\vec{NP}$. б) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ коллинеарны векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. в) В треугольнике $FGH$ нет коллинеарных векторов, так как нет параллельных сторон.