Можешь ли ты решить задания 13-22?

13. Чтобы найти область определения функции, нужно исключить значения $x$, при которых знаменатель дроби равен нулю, так как на ноль делить нельзя. a) $y = \frac{1}{x-2}$. Знаменатель $x-2$ обращается в нуль при $x=2$. Значит, область определения: все числа, кроме $x=2$. б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$. Знаменатель $x(x+1)$ обращается в нуль при $x=0$ и $x=-1$. Значит, область определения: все числа, кроме $x=0$ и $x=-1$. в) $y = x + \frac{1}{x+5}$. Знаменатель $x+5$ обращается в нуль при $x=-5$. Значит, область определения: все числа, кроме $x=-5$. 14. Чтобы найти значение переменной, при котором значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно нулю, нужно приравнять числитель к нулю: $x-3=0$. Решаем уравнение: $x=3$. 15. Чтобы значение дроби было равно нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель не был равен нулю. a) $\frac{y-5}{8}$. Числитель $y-5$ равен нулю при $y=5$. Знаменатель всегда равен 8, то есть не равен нулю. Значит, дробь равна нулю при $y=5$. б) $\frac{2y+3}{10}$. Числитель $2y+3$ равен нулю при $2y=-3$, то есть $y=-\frac{3}{2}$. Знаменатель всегда равен 10, то есть не равен нулю. Значит, дробь равна нулю при $y=-\frac{3}{2}$. в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$. Числитель $x(x-1)$ равен нулю при $x=0$ и $x=1$. Знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq -4$. Значит, дробь равна нулю при $x=0$ и $x=1$. г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$. Числитель $x(x+3)$ равен нулю при $x=0$ и $x=-3$. Знаменатель $2x+6$ равен нулю при $2x=-6$, то есть $x=-3$. Так как знаменатель не может быть равен нулю, то подходит только $x=0$. 16. Чтобы определить знак дроби $\frac{a}{b}$, нужно знать знаки $a$ и $b$. а) Если $a>0$ и $b>0$, то дробь $\frac{a}{b} > 0$ (положительная). б) Если $a>0$ и $b<0$, то дробь $\frac{a}{b} < 0$ (отрицательная). в) Если $a<0$ и $b>0$, то дробь $\frac{a}{b} < 0$ (отрицательная). г) Если $a<0$ и $b<0$, то дробь $\frac{a}{b} > 0$ (положительная). 17. Докажем, что при любом значении переменной значение дроби: a) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно. $x^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого $x$. Значит, $x^2+1$ всегда больше или равно 1. Поэтому $\frac{3}{x^2+1}$ всегда положительно. б) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно. $(a-1)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого $a$, так как это квадрат. $a^2$ всегда неотрицательно, значит, $a^2+10$ всегда больше или равно 10. Поэтому $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ всегда неотрицательно. в) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно. $y^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого $y$. Значит, $y^2+4$ всегда больше или равно 4. Поэтому $\frac{-5}{y^2+4}$ всегда отрицательно, так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный. г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно. $(b-3)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого $b$, так как это квадрат. $-b^2$ всегда неположительно (меньше или равно нулю). Значит, $-b^2-1$ всегда меньше или равно -1. Поэтому $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ всегда неположительно (меньше или равно нулю). 18. Чтобы дробь $\frac{4}{a^2+5}$ принимала наибольшее значение, нужно, чтобы знаменатель $a^2+5$ был наименьшим. $a^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Значит, наименьшее значение $a^2$ равно 0, когда $a=0$. Тогда $a^2+5 = 0+5 = 5$. Чтобы дробь $\frac{10}{(a-3)^2+1}$ принимала наибольшее значение, нужно, чтобы знаменатель $(a-3)^2+1$ был наименьшим. $(a-3)^2$ всегда неотрицательно. Значит, наименьшее значение $(a-3)^2$ равно 0, когда $a-3=0$, то есть $a=3$. Тогда $(a-3)^2+1 = 0+1 = 1$. 19. Чтобы дробь $\frac{b^2+7}{21}$ принимала наименьшее значение, нужно, чтобы числитель $b^2+7$ был наименьшим. $b^2$ всегда неотрицательно. Значит, наименьшее значение $b^2$ равно 0, когда $b=0$. Тогда $b^2+7 = 0+7 = 7$. Чтобы дробь $\frac{(b-2)^2+16}{8}$ принимала наименьшее значение, нужно, чтобы числитель $(b-2)^2+16$ был наименьшим. $(b-2)^2$ всегда неотрицательно. Значит, наименьшее значение $(b-2)^2$ равно 0, когда $b-2=0$, то есть $b=2$. Тогда $(b-2)^2+16 = 0+16 = 16$. 20. Допущение: Нужно найти наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$. Преобразуем знаменатель: $4x^2 + 9 + y^2 + 4xy = (4x^2 + 4xy + y^2) + 9 = (2x+y)^2 + 9$. Так как $(2x+y)^2$ всегда неотрицательно, то наименьшее значение знаменателя равно 9, когда $2x+y = 0$. Тогда наибольшее значение дроби равно $\frac{18}{9} = 2$. **Правильный ответ: 3** 21. Преобразуем в многочлен: a) $(2a+3)(2a-3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$. б) $(y-5b)(y+5b) = y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2$. в) $(0,8x+y)(y-0,8x) = y^2 - (0,8x)^2 = y^2 - 0,64x^2$. г) $(b+0,5)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 0,5 + 0,5^2 = b^2 + b + 0,25$. д) $(a-2x)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 - 4ax + 4x^2$. е) $(ab-1)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 - 2ab + 1$. 22. Разложим на множители: б) $16-c^2 = 4^2 - c^2 = (4-c)(4+c)$. г) $x^2+8x+16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$. д) $a^3-8 = a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$. е) $b^3+27 = b^3 + 3^3 = (b+3)(b^2 - 3b + 9)$.