Докажи, что хотя бы в одной из олимпиад приняли участие не меньше 18 учеников этого класса (в 10 классе 25 учеников)

Конечно, помогу! Давай разберем задачу 3 про олимпиады по математике и физике. Представим, что у нас есть два круга: один - математики, другой - физики. Есть ребята, которые участвовали и там, и там. Нам нужно доказать, что хотя бы в одном из кругов не меньше 18 человек. Всего в классе 25 человек. 10 из них участвовали в обеих олимпиадах. Значит, если мы сложим всех математиков и всех физиков, то эти 10 человек будут посчитаны дважды. Пусть $M$ - количество участников олимпиады по математике, $F$ - количество участников олимпиады по физике. Тогда: $$M + F - 10 = 25$$ $$M + F = 35$$ Теперь предположим, что математиков меньше 18 ($M < 18$) и физиков меньше 18 ($F < 18$). Тогда: $$M + F < 18 + 18$$ $$M + F < 36$$ У нас получилось, что $M + F = 35$, а если предположить, что в каждой олимпиаде меньше 18 участников, то $M + F < 36$. Это почти одно и то же, но нам нужно доказать, что хотя бы в одной олимпиаде не меньше 18 участников. Предположим обратное: пусть $M \le 17$ и $F \le 17$. Тогда $M + F \le 34$, что противоречит условию $M + F = 35$. Значит, наше предположение неверно, и хотя бы в одной из олимпиад участвовало не меньше 18 учеников. **Ответ:** Да, мы доказали, что хотя бы в одной из олимпиад приняли участие не меньше 18 учеников.