Реши неравенство (x²-3x-2)/(x²-3x+2) + (x²-3x+16)/(x²-3x) ≥ 0

Решим неравенство $\frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2} + \frac{x^2-3x+16}{x^2-3x} \ge 0$. 1. **Замена переменной:** Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда неравенство примет вид: $\frac{t-2}{t+2} + \frac{t+16}{t} \ge 0$ 2. **Приведение к общему знаменателю:** $\frac{(t-2)t + (t+16)(t+2)}{t(t+2)} \ge 0$ $\frac{t^2 - 2t + t^2 + 18t + 32}{t(t+2)} \ge 0$ $\frac{2t^2 + 16t + 32}{t(t+2)} \ge 0$ $\frac{2(t^2 + 8t + 16)}{t(t+2)} \ge 0$ $\frac{2(t+4)^2}{t(t+2)} \ge 0$ 3. **Анализ неравенства:** $(t+4)^2$ всегда неотрицательно. Значит, нужно рассмотреть знак выражения $\frac{2}{t(t+2)}$. 4. **Решение неравенства относительно t:** $\frac{2(t+4)^2}{t(t+2)} \ge 0$ * $(t+4)^2 = 0$ при $t = -4$ * $t(t+2) > 0$ при $t \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$ 5. **Обратная замена:** $x^2 - 3x = t$ * $x^2 - 3x = -4$ $x^2 - 3x + 4 = 0$ $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Нет решений. * $x^2 - 3x < -2$ $x^2 - 3x + 2 < 0$ $(x-1)(x-2) < 0$ $x \in (1, 2)$ * $x^2 - 3x > 0$ $x(x-3) > 0$ $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$ 6. **Учет дополнительных условий:** * $t \neq 0 \,\Rightarrow\, x^2 - 3x \neq 0 \,\Rightarrow\, x \neq 0, x \neq 3$ * $t \neq -2 \,\Rightarrow\, x^2 - 3x \neq -2 \,\Rightarrow\, x^2 - 3x + 2 \neq 0 \,\Rightarrow\, x \neq 1, x \neq 2$ 7. **Объединение решений:** * $x \in (1, 2)$ * $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$ 8. **Ответ:** $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2) \cup (3, +\infty)$ **Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2) \cup (3, +\infty)$**