Помоги мне найти ∠CAD и ∠BDC, если ABCD — прямоугольник, ∠BOA = 36°, а также найти углы треугольника АОВ, если ABCD — прямоугольник, ∠ADB:∠CDB = 4:5.

Конечно, давай решим эти задачи вместе! **1. Дано: ABCD – прямоугольник; ∠BOA=36°. Найти: ∠CAD, ∠BDC.** *Решение:* В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, треугольник AOB равнобедренный (AO = OB). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Тогда: $\angle OAB = \angle OBA = (180° - 36°) / 2 = 144° / 2 = 72°$ $\angle CAD = 90° - \angle OAB = 90° - 72° = 18°$ $\angle BDC = \angle CAD = 18°$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD). **Ответ: ∠CAD = 18°, ∠BDC = 18°** **2. Дано: ABCD – прямоугольник; ∠ADB:∠CDB = 4:5. Найти: углы треугольника АОВ.** *Решение:* $\angle ADB + \angle CDB = 90°$ (так как вместе составляют прямой угол) Пусть $\angle ADB = 4x$, тогда $\angle CDB = 5x$. $4x + 5x = 90°$ $9x = 90°$ $x = 10°$ $\angle ADB = 4 * 10° = 40°$ $\angle CDB = 5 * 10° = 50°$ В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, треугольник AOD равнобедренный (AO = OD). $\angle DAO = \angle ADO = 40°$ $\angle AOD = 180° - (40° + 40°) = 180° - 80° = 100°$ $\angle AOB$ и $\angle AOD$ — смежные, значит, их сумма равна 180°. $\angle AOB = 180° - \angle AOD = 180° - 100° = 80°$ В равнобедренном треугольнике AOB (AO = OB) углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°$ **Ответ: $\angle OAB = 50°$, $\angle OBA = 50°$, $\angle AOB = 80°$**