Реши уравнения: 1) (x²-3)/(x²-1) + x/(x-1) = 1; 2) Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив весь путь 8 часов. Найди собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Конечно, помогу решить! **Задание 7** Чтобы решить уравнение $\frac{x^2-3}{x^2-1} + \frac{x}{x-1} = 1$, давай сначала разберёмся с областью допустимых значений (ОДЗ). Это нужно, чтобы убедиться, что мы не делим на ноль. Знаменатели не должны быть равны нулю: $x^2 - 1 ≠ 0$ и $x - 1 ≠ 0$ Это значит, что $x ≠ 1$ и $x ≠ -1$. Теперь приведём всё к общему знаменателю, чтобы сложить дроби. Общий знаменатель будет $x^2 - 1$, так как $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Перепишем уравнение: $\frac{x^2-3}{x^2-1} + \frac{x(x+1)}{x^2-1} = \frac{x^2-1}{x^2-1}$ Теперь, когда знаменатели одинаковые, можно сложить числители: $x^2 - 3 + x(x+1) = x^2 - 1$ Раскроем скобки и упростим: $x^2 - 3 + x^2 + x = x^2 - 1$ Перенесём всё в одну сторону, чтобы решить уравнение: $2x^2 + x - 3 - x^2 + 1 = 0$ $x^2 + x - 2 = 0$ Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$ Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ Теперь вспомним про ОДЗ: $x ≠ 1$ и $x ≠ -1$. Значит, корень $x_1 = 1$ нам не подходит. Итак, единственный корень, который удовлетворяет условию, это $x = -2$. **Ответ: x = -2** **Задание 8** Давай решим задачу про теплоход. Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч. Когда теплоход плывёт по течению, его скорость увеличивается на скорость течения реки, а когда против течения - уменьшается. Известно: * Скорость течения реки: 3 км/ч * Расстояние по течению: 108 км * Расстояние против течения: 84 км * Общее время в пути: 8 часов Время, которое теплоход плыл по течению, можно найти как $\frac{108}{x + 3}$, а время против течения - как $\frac{84}{x - 3}$. Вместе это занимает 8 часов, поэтому можно составить уравнение: $\frac{108}{x + 3} + \frac{84}{x - 3} = 8$ Чтобы решить это уравнение, нужно избавиться от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на $(x + 3)(x - 3)$: $108(x - 3) + 84(x + 3) = 8(x^2 - 9)$ Раскроем скобки и упростим: $108x - 324 + 84x + 252 = 8x^2 - 72$ $192x - 72 = 8x^2 - 72$ Теперь перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $8x^2 - 192x = 0$ Разделим обе части на 8: $x^2 - 24x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 24) = 0$ Получаем два возможных решения: $x = 0$ или $x = 24$ Так как скорость теплохода не может быть равна нулю, то остаётся только один вариант: $x = 24$. Значит, собственная скорость теплохода равна 24 км/ч. **Ответ: 24 км/ч**