Реши неравенства: a) (x+4)(2x-3) > 0

Привет! Давай решим эти неравенства вместе. a) $(x+4)(2x-3) > 0$ Чтобы решить это неравенство, нужно найти, когда произведение двух скобок больше нуля. Это происходит, когда обе скобки положительные или обе отрицательные. * $x+4 > 0$ и $2x-3 > 0$, тогда $x > -4$ и $x > \frac{3}{2}$. Значит, $x > \frac{3}{2}$. * $x+4 < 0$ и $2x-3 < 0$, тогда $x < -4$ и $x < \frac{3}{2}$. Значит, $x < -4$. **Ответ: $x < -4$ или $x > \frac{3}{2}$** b) $x^2+10x-11 < 0$ Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2+10x-11 = 0$. Используем формулу дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=10$, $c=-11$. $$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144$$ Так как дискриминант больше нуля, у нас два корня. Найдем их по формуле: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 12}{2}$$ $$x_1 = \frac{-10 + 12}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-10 - 12}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$ Теперь мы знаем, что парабола $x^2+10x-11$ пересекает ось x в точках -11 и 1. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Нам нужно найти значения x, при которых парабола меньше нуля, то есть находится ниже оси x. **Ответ: $-11 < x < 1$** c) $(5x-2)(4x+3) \le 0$ Чтобы решить это неравенство, найдем, когда произведение двух скобок меньше или равно нулю. Это происходит, когда одна скобка положительная, а другая отрицательная, или когда одна из скобок равна нулю. * $5x-2 \ge 0$ и $4x+3 \le 0$, тогда $x \ge \frac{2}{5}$ и $x \le -\frac{3}{4}$. Но это невозможно, так как $\frac{2}{5} > -\frac{3}{4}$. * $5x-2 \le 0$ и $4x+3 \ge 0$, тогда $x \le \frac{2}{5}$ и $x \ge -\frac{3}{4}$. Значит, $-\frac{3}{4} \le x \le \frac{2}{5}$. **Ответ: $-\frac{3}{4} \le x \le \frac{2}{5}$** d) $2x^2-5x+2 \ge 0$ Сначала найдем корни квадратного уравнения $2x^2-5x+2 = 0$. Используем формулу дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=2$, $b=-5$, $c=2$. $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$ Так как дискриминант больше нуля, у нас два корня. Найдем их по формуле: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$$ $$x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Теперь мы знаем, что парабола $2x^2-5x+2$ пересекает ось x в точках $\frac{1}{2}$ и 2. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Нам нужно найти значения x, при которых парабола больше или равна нулю, то есть находится выше оси x или на ней. **Ответ: $x \le \frac{1}{2}$ или $x \ge 2$**