Реши уравнение r) \frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25}

Чтобы решить уравнение $\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25}$, нам нужно привести все дроби к общему знаменателю и решить получившееся уравнение. 1. **Разложение знаменателей:** * $x^2 + 5x = x(x + 5)$ * $2x - 10 = 2(x - 5)$ * $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$ 2. **Общий знаменатель:** Общий знаменатель будет $2x(x + 5)(x - 5)$. 3. **Приведение дробей к общему знаменателю:** * $\frac{2}{x(x+5)} = \frac{2 \cdot 2(x-5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{4(x-5)}{2x(x+5)(x-5)}$ * $\frac{3}{2(x-5)} = \frac{3 \cdot x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{3x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)}$ * $\frac{15}{(x+5)(x-5)} = \frac{15 \cdot 2x}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{30x}{2x(x+5)(x-5)}$ 4. **Решение уравнения:** Теперь уравнение выглядит так: $\frac{4(x-5)}{2x(x+5)(x-5)} + \frac{3x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{30x}{2x(x+5)(x-5)}$ Умножим обе стороны на общий знаменатель $2x(x + 5)(x - 5)$, чтобы избавиться от дробей: $4(x - 5) + 3x(x + 5) = 30x$ 5. **Раскрытие скобок и упрощение:** $4x - 20 + 3x^2 + 15x = 30x$ $3x^2 + 19x - 20 = 30x$ $3x^2 - 11x - 20 = 0$ 6. **Решение квадратного уравнения:** Используем квадратное уравнение для решения $3x^2 - 11x - 20 = 0$. Формула выглядит так: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Где $a = 3$, $b = -11$, и $c = -20$. Подставляем значения: $x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20)}}{2 \cdot 3}$ $x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 240}}{6}$ $x = \frac{11 \pm \sqrt{361}}{6}$ $x = \frac{11 \pm 19}{6}$ Получаем два возможных решения: $x_1 = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$ $x_2 = \frac{11 - 19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ 7. **Проверка решений:** Важно проверить, не обращают ли корни знаменатели в ноль. Если $x = 5$, то $2x - 10 = 0$ и $x^2 - 25 = 0$, что недопустимо. Поэтому $x = 5$ не является решением. Если $x = -\frac{4}{3}$, то знаменатели не обращаются в ноль, поэтому это решение подходит. **Ответ:** $x = -\frac{4}{3}$