Выясни, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения (√2 + √3) ⋅ (√2 - √3)

Привет! Давай разберёмся с этими выражениями. Нам нужно понять, какие из них дают рациональные числа (то есть, их можно представить в виде дроби), а какие – иррациональные (их нельзя представить в виде дроби). Поехали! а) $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})$ Это разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Значит, $$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$$ $-1$ – рациональное число. б) $(\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})$ Тут уже не разность квадратов, поэтому просто умножаем каждое на каждое: $$(\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 6 = -4 + \sqrt{6}$$ $-4 + \sqrt{6}$ – иррациональное число, так как $\sqrt{6}$ – иррациональное. в) $\frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{(2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{4}{4-3} = \frac{4}{1} = 4$$ $4$ – рациональное число. г) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ Опять приводим к общему знаменателю: $$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}}{3-2} = 2\sqrt{2}$$ $2\sqrt{2}$ – иррациональное число, так как $\sqrt{2}$ – иррациональное. д) $\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{3-\sqrt{2}}}$ Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$: $$\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+3+\sqrt{6}}{3-2}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6}}$$ Под корнем стоит иррациональное число, значит, и всё выражение иррациональное. е) $\sqrt{\frac{5}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}} + \sqrt{\frac{5}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$ Снова избавляемся от иррациональности в знаменателе. Домножаем первую дробь на $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$, а вторую на $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$: $$\sqrt{\frac{5(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}} + \sqrt{\frac{5(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}} = \sqrt{\frac{5(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}} + \sqrt{\frac{5(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}} = \sqrt{\frac{5\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{3}} + \sqrt{\frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{3}}$$ Так как под знаком корня иррациональные числа, то и всё выражение иррациональное. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!