Помоги мне решить тригонометрическое уравнение 2sinx-sqrt{3}tgx-2sqrt{3}cosx+3=0

Question

Вопрос:

Помоги мне решить тригонометрическое уравнение 2sinx-sqrt{3}tgx-2sqrt{3}cosx+3=0

Ответ ассистента

Accepted Answer

Решаем тригонометрическое уравнение: $2\sin{x}-\sqrt{3}\operatorname{tg}{x}-2\sqrt{3}\cos{x}+3=0$. Преобразуем уравнение, используя $\operatorname{tg}{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$: $2\sin{x} - \sqrt{3}\frac{\sin{x}}{\cos{x}} - 2\sqrt{3}\cos{x} + 3 = 0$ Приведём к общему знаменателю: $\frac{2\sin{x}\cos{x} - \sqrt{3}\sin{x} - 2\sqrt{3}\cos^{2}{x} + 3\cos{x}}{\cos{x}} = 0$ Умножим обе части на $\cos{x}$ (с учётом, что $\cos{x} \neq 0$): $2\sin{x}\cos{x} - \sqrt{3}\sin{x} - 2\sqrt{3}\cos^{2}{x} + 3\cos{x} = 0$ Сгруппируем слагаемые: $(\sqrt{3}\cos{x} - \sin{x})(2\cos{x} - \sqrt{3}) = 0$ Теперь рассмотрим два случая: 1) $\sqrt{3}\cos{x} - \sin{x} = 0$ $\sin{x} = \sqrt{3}\cos{x}$ $\operatorname{tg}{x} = \sqrt{3}$ $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ 2) $2\cos{x} - \sqrt{3} = 0$ $\cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$

Помоги мне решить тригонометрическое уравнение 2sinx-sqrt{3}tgx-2sqrt{3}cosx+3=0

Ответ ассистента

Другие решения