Определи, какие из выражений являются рациональным числом: (√7 + 2)(√7 - 2)

Привет! Давай разберёмся с каждым выражением по очереди и определим, какие из них рациональные, а какие иррациональные. а) $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$ Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. $$(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$$ Получили число 3, которое является рациональным. б) $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2)$ Раскроем скобки: $$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 = 3 - 3\sqrt{3} + 2 = 5 - 3\sqrt{3}$$ Здесь есть иррациональное число $\sqrt{3}$, значит, и всё выражение иррационально. в) $(1 - 2\sqrt{5})^2$ Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $$(1 - 2\sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 = 21 - 4\sqrt{5}$$ Так как есть иррациональное число $\sqrt{5}$, то и всё выражение иррационально. г) $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15}$ Упростим выражение: $$2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{15} = 6 \cdot \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{225} = 6 \cdot 15 = 90$$ Получили рациональное число 90. д) $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ Упростим выражение: $$3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 12} = 3 \cdot \sqrt{72} = 3 \cdot \sqrt{36 \cdot 2} = 3 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$ Так как есть иррациональное число $\sqrt{2}$, то и всё выражение иррационально. е) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}$ Упростим выражение: $$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{10}} = \frac{1}{6}$$ Получили рациональное число $\frac{1}{6}$. **Ответ:** Рациональными являются выражения а), г) и е).