Давай решим эти задания по порядку.
**1. a) $6^{15} \cdot 6^{-13}$**
Когда умножаешь степени с одинаковым основанием, показатели складываются:
$$6^{15 + (-13)} = 6^{15 - 13} = 6^2 = 36$$
*Перевод: Сначала складываем показатели степеней, затем вычисляем результат.*
**1. б) $4^{-6} : 4^{-3}$**
Когда делишь степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются:
$$4^{-6 - (-3)} = 4^{-6 + 3} = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$$
*Перевод: Сначала вычитаем показатели степеней, затем избавляемся от отрицательной степени.*
**1. в) $(5^{-1})^3$**
Когда степень возводится в степень, показатели перемножаются:
$$5^{-1 \cdot 3} = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$$
*Перевод: Сначала умножаем показатели степеней, затем избавляемся от отрицательной степени.*
**2. a) $(x^{-2})^{-4} \cdot x^{-7}$**
Сначала упрощаем первую часть:
$$(x^{-2})^{-4} = x^{-2 \cdot (-4)} = x^8$$
Теперь умножаем на вторую часть:
$$x^8 \cdot x^{-7} = x^{8 + (-7)} = x^{8 - 7} = x^1 = x$$
*Перевод: Сначала упрощаем первую часть выражения, затем умножаем на вторую часть.*
**2. б) $1,2a^{-5}b^8 \cdot 5a^6b^{-6}$**
Умножаем числовые коэффициенты и складываем показатели степеней с одинаковым основанием:
$$1,2 \cdot 5 \cdot a^{-5+6} \cdot b^{8+(-6)} = 6a^1b^2 = 6ab^2$$
*Перевод: Сначала умножаем числа, затем складываем показатели степеней с одинаковыми буквами.*
**3. a) $\left(\frac{2}{3}a^{-4}b^{-2}\right)^{-2}$**
Возводим каждый элемент в степень -2:
$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot (a^{-4})^{-2} \cdot (b^{-2})^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} \cdot a^{8} \cdot b^{4} = \frac{9}{4}a^8b^4$$
*Перевод: Сначала избавляемся от отрицательной степени у дроби, затем упрощаем остальные степени.*
**3. б) $\frac{5a^{-2}}{6b^{-1}} \cdot 10a^3b^4$**
Упрощаем выражение:
$$\frac{5 \cdot 10 \cdot a^{-2} \cdot a^3 \cdot b^4}{6b^{-1}} = \frac{50a^{3-2}b^{4-(-1)}}{6} = \frac{50ab^5}{6} = \frac{25ab^5}{3}$$
*Перевод: Сначала умножаем числитель, затем делим и упрощаем степени.*
**4. Вычислите: $\frac{5^{-9} \cdot 25^{-2}}{125^{-4}}$**
Представим все числа как степени 5:
$$25 = 5^2, \quad 125 = 5^3$$
Тогда выражение будет выглядеть так:
$$\frac{5^{-9} \cdot (5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}} = \frac{5^{-9} \cdot 5^{-4}}{5^{-12}} = \frac{5^{-13}}{5^{-12}} = 5^{-13 - (-12)} = 5^{-13 + 12} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$$
*Перевод: Сначала выражаем все числа через степень пятерки, затем упрощаем степени при умножении и делении.*
**5. Представьте произведение $(6,8 \cdot 10^6) \cdot (4,5 \cdot 10^{-8})$ в стандартном виде числа.**
Умножаем числа и степени отдельно:
$$6,8 \cdot 4,5 \cdot 10^6 \cdot 10^{-8} = 30,6 \cdot 10^{6-8} = 30,6 \cdot 10^{-2}$$
Чтобы записать в стандартном виде, нужно чтобы перед запятой была одна цифра, не равная нулю:
$$30,6 \cdot 10^{-2} = 3,06 \cdot 10^1 \cdot 10^{-2} = 3,06 \cdot 10^{-1}$$
*Перевод: Сначала умножаем числа и степени, затем приводим к стандартному виду.*
**6. Представьте выражение $\frac{a^{-1} + b}{(a + b^{-1})^{-1}}$ в виде рациональной дроби.**
Преобразуем выражение:
$$\frac{a^{-1} + b}{(a + b^{-1})^{-1}} = (a^{-1} + b) \cdot (a + b^{-1}) = \left(\frac{1}{a} + b\right) \cdot \left(a + \frac{1}{b}\right) = \frac{1}{a} \cdot a + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} + b \cdot a + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{1}{ab} + ab + 1 = 2 + ab + \frac{1}{ab}$$
Приведем к общему знаменателю:
$$2 + ab + \frac{1}{ab} = \frac{2ab}{ab} + \frac{a^2b^2}{ab} + \frac{1}{ab} = \frac{2ab + a^2b^2 + 1}{ab}$$
*Перевод: Сначала упрощаем степени, затем раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю.*
