Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь.

Привет! Давай разберем эти задачи на движение. ### Задача 18 Пусть $S$ — весь путь, $v$ — скорость первого автомобиля (км/ч). Тогда время первого автомобиля в пути: $t_1 = \frac{S}{v}$. Второй автомобиль проехал первую половину пути ($S/2$) со скоростью 24 км/ч, а вторую половину ($S/2$) — со скоростью $(24+16) = 40$ км/ч. Его время: $t_2 = \frac{S/2}{24} + \frac{S/2}{40} = \frac{S}{48} + \frac{S}{80} = \frac{5S + 3S}{240} = \frac{8S}{240} = \frac{S}{30}$. Так как они прибыли одновременно, $t_1 = t_2$: $\frac{S}{v} = \frac{S}{30} \Rightarrow v = 30$. **Ответ: 30** ### Задача 19 Расстояние $AB = 80$ км. Скорость мотоциклиста $v_м = 90$ км/ч, скорость автомобиля $v_а$. 20 минут = $1/3$ часа. Автомобиль был в пути на $1/3$ часа больше до встречи в точке $C$ (расстояние $AC = x$): $\frac{x}{v_а} - \frac{x}{90} = \frac{1}{3}$. После встречи мотоциклист проехал половину пути из $C$ в $A$ (расстояние $x/2$) обратно, а автомобиль — остаток пути до $B$ ($80-x$). Мотоциклист проехал это за $t_м = \frac{x/2}{90} = \frac{x}{180}$. Автомобиль за то же время проехал $(80-x)$ со скоростью $v_а$: $v_а = \frac{80-x}{x/180} = \frac{180(80-x)}{x}$. Подставим $v_а$ в первое уравнение: $\frac{x}{180(80-x)/x} - \frac{x}{90} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x^2}{180(80-x)} - \frac{2x}{180} = \frac{1}{3}$. Умножим на 180: $\frac{x^2}{80-x} - 2x = 60 \Rightarrow x^2 - 2x(80-x) = 60(80-x) \Rightarrow x^2 - 160x + 2x^2 = 4800 - 60x \Rightarrow 3x^2 - 100x - 4800 = 0$. Решим через дискриминант: $D = 10000 - 4(3)(-4800) = 10000 + 57600 = 67600 = 260^2$. $x = \frac{100 + 260}{6} = 60$ (отрицательный корень не подходит). **Ответ: 60** ### Задача 20 Расстояние $AB = 150$ км. Автомобиль выехал, через $1/2$ ч ($30$ мин) — мотоциклист ($v_м = 90$ км/ч). Пусть $AC = x$, скорость авто $v_а$. До встречи: $\frac{x}{v_а} - \frac{x}{90} = 0.5$. Мотоциклист вернулся в $A$ (проехал $x$ со скоростью 90), а авто доехало до $B$ (проехало $150-x$ со скоростью $v_а$): $\frac{x}{90} = \frac{150-x}{v_а} \Rightarrow v_а = \frac{90(150-x)}{x}$. Подставим: $\frac{x}{90(150-x)/x} - \frac{x}{90} = 0.5 \Rightarrow \frac{x^2}{90(150-x)} - \frac{x}{90} = 0.5$. Умножим на 90: $\frac{x^2}{150-x} - x = 45 \Rightarrow x^2 - x(150-x) = 45(150-x) \Rightarrow x^2 - 150x + x^2 = 6750 - 45x \Rightarrow 2x^2 - 105x - 6750 = 0$. $D = 105^2 - 4(2)(-6750) = 11025 + 54000 = 65025 = 255^2$. $x = \frac{105 + 255}{4} = 90$. **Ответ: 90** ### Задача 21 1-й велосипедист: скорость $v_1 = 12$ км/ч. 2-й: выехал через 1 час, $v_2 = 10$ км/ч. 3-й: выехал еще через 1 час, пусть $v_3 = x$ км/ч. В момент выезда 3-го (прошло 2 часа от старта 1-го): 1-й проехал 24 км, 2-й — 10 км. 3-й догнал 2-го через время $t_a$: $x \cdot t_a = 10 + 10 \cdot t_a \Rightarrow t_a = \frac{10}{x-10}$. В этот момент 3-й проехал расстояние $S_3 = x \cdot t_a = \frac{10x}{x-10}$. В этот же момент 1-й проехал $S_1 = 24 + 12 \cdot t_a = 24 + \frac{120}{x-10} = \frac{24x - 240 + 120}{x-10} = \frac{24x - 120}{x-10}$. Через 2 часа после встречи со 2-м он догнал 1-го: $S_3 + x \cdot 2 = S_1 + 12 \cdot 2 \Rightarrow \frac{10x}{x-10} + 2x = \frac{24x - 120}{x-10} + 24$. Умножим на $(x-10)$: $10x + 2x(x-10) = 24x - 120 + 24(x-10) \Rightarrow 10x + 2x^2 - 20x = 24x - 120 + 24x - 240 \Rightarrow 2x^2 - 10x = 48x - 360 \Rightarrow 2x^2 - 58x + 360 = 0 \Rightarrow x^2 - 29x + 180 = 0$. Корни: $x_1=20, x_2=9$. Так как он должен догнать, $x > 10$. Значит, $x = 20$. **Ответ: 20**