Объясни, как преобразовать выражение a) $\frac{x^3 + 3x}{x+2} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2-4} + 2х$ и доказать, что оно является положительным числом

Конечно, сейчас помогу разобраться! а) Давай преобразуем выражение: 1. Приведем все к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$. $$\frac{(x^3 + 3x)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} + \frac{2x(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$$ 2. Раскроем скобки в числителях: $$\frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 6x - 3x^2 + 14x - 16 + 2x^3 - 8x}{x^2 - 4}$$ 3. Приведем подобные члены в числителе: $$\frac{x^4 + ( -2x^3 + 2x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (-6x + 14x - 8x) - 16}{x^2 - 4} = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$$ 4. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: $$\frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 - 4}$$ 5. Сократим дробь: $$x^2 + 4$$ Так как $x^2$ всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю) для любого $x$, то $x^2 + 4$ всегда будет больше 0. Значит, выражение всегда положительное. б) Преобразуем второе выражение: 1. Приведем все к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(y-1)(y+1) = y^2 - 1$. $$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1} = \frac{y(y^2 - 1)}{y^2 - 1} + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{(y^3 + 2y)(y + 1)}{y^2 - 1}$$ 2. Раскроем скобки в числителях: $$\frac{y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - (y^4 + y^3 + 2y^2 + 2y)}{y^2 - 1}$$ 3. Упростим числитель: $$\frac{y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - y^4 - y^3 - 2y^2 - 2y}{y^2 - 1}$$ 4. Приведем подобные члены: $$\frac{-y^4 + (y^3 - y^3) + (2y^2 - 2y^2) + (-y + 3y - 2y) + 1}{y^2 - 1} = \frac{-y^4 + 1}{y^2 - 1}$$ 5. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: $$\frac{(1 - y^2)(1 + y^2)}{y^2 - 1} = \frac{-(y^2 - 1)(1 + y^2)}{y^2 - 1}$$ 6. Сократим дробь: $$-(1 + y^2)$$ Так как $y^2$ всегда неотрицателен, то $1 + y^2$ всегда положителен. Но у нас стоит знак минус перед этим выражением, значит, $-(1 + y^2)$ всегда будет отрицательным числом.