Можешь ли ты доказать, что при любом значении переменной верно неравенство (p-3) (p + 4) < p(p + 1)?

Конечно, давай разберёмся с этими неравенствами и утверждениями! 1) $(p-3)(p + 4) < p(p + 1)$ Сначала раскроем скобки с обеих сторон: $$p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$$ $$p^2 + p - 12 < p^2 + p$$ Теперь вычтем $(p^2 + p)$ из обеих частей: $$-12 < 0$$ Это неравенство верно при любом значении $p$, так как $-12$ всегда меньше $0$. 2) $(x + 1)^2 > x(x + 2)$ Раскроем скобки: $$x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$$ Вычтем $(x^2 + 2x)$ из обеих частей: $$1 > 0$$ Это неравенство тоже всегда верно. 3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a – 8)$ Раскроем скобки: $$a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$$ $$a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$$ Вычтем $(a^2 - 3a)$ из обеих частей: $$-10 > -40$$ Это неравенство верно, так как $-10$ всегда больше $-40$. Теперь перейдём к утверждениям: 1) Если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$? Это утверждение верно только если $b > 0$. Если $b$ отрицательное, то знак неравенства меняется. Пример: Если $a = 2$, $b = -1$, то $2 > -1$, но $\frac{2}{-1} = -2$, что не больше 1. **Допущение:** $b > 0$, тогда утверждение верно. 2) Если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$? Так как $a > 1$, то деление 2 на число больше 1 даст результат меньше 2. Пример: Если $a = 2$, то $\frac{2}{2} = 1$, и $1 < 2$. Утверждение верно. 3) Если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$? Так как $a < 1$, то деление 2 на число меньше 1 даст результат больше 2. Пример: Если $a = 0.5$, то $\frac{2}{0.5} = 4$, и $4 > 2$. Утверждение верно. 4) Если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$? Это утверждение верно только если $b > 0$. Если $b$ отрицательное, то знак неравенства меняется. Пример: Если $a = -2$, $b = -3$, то $\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$, что не больше 1. **Допущение:** $b > 0$, тогда утверждение верно. 5) Если $a^2 > 1$, то $a > 1$? Это не всегда верно. Если $a$ отрицательное и по модулю больше 1, то $a^2$ будет больше 1, но $a$ не будет больше 1. Пример: Если $a = -2$, то $(-2)^2 = 4$, и $4 > 1$, но $-2$ не больше 1. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!