Вычисли значение выражения (4 sin 2α + 5 cos 2α) / (2 sin 2α – 3 cos 2α), если ctg α = 1/3.

Привет! Давай решим это вместе. Вычислим значение выражения $\frac{4 \sin 2\alpha + 5 \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha - 3 \cos 2\alpha}$, если $\cot \alpha = \frac{1}{3}$. 1. Выразим $\sin 2\alpha$ и $\cos 2\alpha$ через тангенс: $$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}, \quad \cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$$ 2. Так как $\cot \alpha = \frac{1}{3}$, то $\tan \alpha = 3$. 3. Подставим значение тангенса в формулы для $\sin 2\alpha$ и $\cos 2\alpha$: $$\sin 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 3^2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$ $$\cos 2\alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$$ 4. Подставим найденные значения $\sin 2\alpha$ и $\cos 2\alpha$ в исходное выражение: $$\frac{4 \sin 2\alpha + 5 \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha - 3 \cos 2\alpha} = \frac{4 \cdot \frac{3}{5} + 5 \cdot (-\frac{4}{5})}{2 \cdot \frac{3}{5} - 3 \cdot (-\frac{4}{5})} = \frac{\frac{12}{5} - \frac{20}{5}}{\frac{6}{5} + \frac{12}{5}} = \frac{-\frac{8}{5}}{\frac{18}{5}} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9}$$ **Ответ: $-\frac{4}{9}$**