Реши задачи 6, 7, 8 и 10

Задание 6 В треугольнике $ABC$ $AC = BC$, $AH$ – высота, $AB = 20$, $tg∠BAC = \frac{7}{24}$. Найдите $BH$. $tg∠BAC = \frac{BH}{AH} = \frac{7}{24}$ Допущение: треугольник $ABC$ равнобедренный, значит, высота $AH$ является и медианой. Тогда $BH = \frac{1}{2}AB$ $BH = \frac{1}{2} * 20 = 10$ **Ответ: 10** Задание 7 Прямая $y = bx + 1$ пересекает график функции $y = ax^2 + 4x + 1$ в точках $(-5;6)$ и $(c;d)$. Найдите значение выражения: $\frac{a-2b}{c+d}$. Подставим координаты первой точки $(-5;6)$ в оба уравнения: Для прямой: $6 = -5b + 1$, отсюда $5b = -5$, значит $b = -1$. Для параболы: $6 = 25a - 20 + 1$, отсюда $25a = 25$, значит $a = 1$. Теперь мы знаем уравнения прямой и параболы: $y = -x + 1$ и $y = x^2 + 4x + 1$. Чтобы найти координаты второй точки пересечения, приравняем правые части уравнений: $-x + 1 = x^2 + 4x + 1$ $x^2 + 5x = 0$ $x(x + 5) = 0$ Корни этого уравнения $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$. Мы уже знаем точку с $x = -5$, значит, вторая точка имеет $x = 0$. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой: $y = -0 + 1 = 1$ Итак, вторая точка $(0;1)$, то есть $c = 0$ и $d = 1$. Теперь найдем значение выражения: $\frac{a-2b}{c+d} = \frac{1 - 2(-1)}{0 + 1} = \frac{1 + 2}{1} = 3$ **Ответ: 3** Задание 8 В правильной треугольной пирамиде $SABC$: $N$ – середина ребра $AC$, $S$ – вершина. Известно, что $AB = 4$, $SN = 2\sqrt{3}$. Найдите площадь поверхности пирамиды, умноженную на $\sqrt{3}$. Так как пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник. $N$ – середина $AC$, значит, $AN = NC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} * 4 = 2$. Боковая грань – равнобедренный треугольник. $SN$ – высота боковой грани. Площадь боковой грани равна: $S_{грани} = \frac{1}{2} * AC * SN = \frac{1}{2} * 4 * 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ Площадь основания (равностороннего треугольника) равна: $S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} * a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} * 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} * 16 = 4\sqrt{3}$ Площадь боковой поверхности (три боковые грани) равна: $S_{бок} = 3 * S_{грани} = 3 * 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ Полная площадь поверхности пирамиды равна: $S_{полная} = S_{основания} + S_{бок} = 4\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ Нам нужно найти площадь поверхности, умноженную на $\sqrt{3}$: $S * \sqrt{3} = 16\sqrt{3} * \sqrt{3} = 16 * 3 = 48$ **Ответ: 48** Задание 10 Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\frac{1}{75}$ м$^{-1}$, $b = \frac{16}{15}$ – постоянные параметры, $x$ (м) – смещение камня по горизонтали, $y$ (м) – высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 15 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра? Нам нужно найти $x$ при условии, что высота камня над стеной ($y$) должна быть не менее 1 метра, то есть $y = 15 + 1 = 16$ метров. Подставим известные значения в уравнение траектории: $16 = -\frac{1}{75}x^2 + \frac{16}{15}x$ Умножим обе части уравнения на 75, чтобы избавиться от дробей: $16 * 75 = -x^2 + \frac{16}{15} * 75 * x$ $1200 = -x^2 + 16 * 5 * x$ $1200 = -x^2 + 80x$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - 80x + 1200 = 0$ Решим квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 * 1 * 1200 = 6400 - 4800 = 1600$ Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 + \sqrt{1600}}{2} = \frac{80 + 40}{2} = \frac{120}{2} = 60$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 - \sqrt{1600}}{2} = \frac{80 - 40}{2} = \frac{40}{2} = 20$ Нам нужно наибольшее расстояние, поэтому выбираем больший корень: **Ответ: 60**