Реши уравнения: 4) 2 cos² x + cos x − 6 = 0

Решаем уравнения! 4) $2 \cos^2 x + \cos x - 6 = 0$ Пусть $\cos x = t$, тогда уравнение принимает вид: $2t^2 + t - 6 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$ $t_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ $t_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то оба корня не подходят. Ответ: нет решений. 2) $3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $3(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0$ $3 - 3\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ $-3\sin^2 x - \sin x + 2 = 0$ $3\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$ Пусть $\sin x = t$, тогда уравнение принимает вид: $3t^2 + t - 2 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$ $t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$ Тогда: $\sin x = \frac{2}{3}$ $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ И $\sin x = -1$ $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ или $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 4) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$ Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$: $2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$ $2 - 2\cos^2 x + 3 \cos x = 0$ $-2\cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0$ $2\cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$ Пусть $\cos x = t$, тогда уравнение принимает вид: $2t^2 - 3t - 2 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $t_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $t_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $t_1$ не подходит. Тогда: $\cos x = -\frac{1}{2}$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$