Вариант 1.
1. Для решения уравнения $3x^2 + 2x - 5 = 0$ используем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
**Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{5}{3}$**
2. Упростим выражение $\frac{a^2}{a^2 - 1} - \frac{a}{a + 1}$. Для этого приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{a^2}{a^2 - 1} - \frac{a}{a + 1} = \frac{a^2}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{a}{a + 1} = \frac{a^2 - a(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a^2 - a^2 + a}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a}{a^2 - 1}$
**Ответ: $\frac{a}{a^2 - 1}$**
3. Решим неравенство $3(3x - 1) > 2(5x - 7)$. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$9x - 3 > 10x - 14$
$-x > -11$
$x < 11$
**Ответ: $x < 11$**
4. a) Чтобы построить график функции $y = -2x + 6$, нужно знать две точки. Например:
Если $x = 0$, то $y = 6$. Первая точка $(0, 6)$.
Если $x = 3$, то $y = 0$. Вторая точка $(3, 0)$.
Через эти две точки можно провести прямую. Это и будет график функции.
б) Чтобы проверить, проходит ли график через точку $A(-35, 76)$, подставим координаты точки в уравнение:
$76 = -2 \cdot (-35) + 6$
$76 = 70 + 6$
$76 = 76$
Равенство выполняется, значит, график проходит через точку $A(-35, 76)$.
**Ответ: да, проходит**
5. Решим неравенство $x^2 - 1 \le 0$. Разложим левую часть на множители:
$(x - 1)(x + 1) \le 0$
Решением этого неравенства является отрезок $[-1, 1]$.
**Ответ: $x \in [-1, 1]$**
6. Представим выражение $\frac{a^5 a^{-8}}{a^{-2}}$ в виде степени и найдем его значение при $a = 6$:
$\frac{a^5 a^{-8}}{a^{-2}} = \frac{a^{5-8}}{a^{-2}} = \frac{a^{-3}}{a^{-2}} = a^{-3 - (-2)} = a^{-3 + 2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$
При $a = 6$:
$\frac{1}{6}$
**Ответ: $\frac{1}{a} = \frac{1}{6}$**
7. Пусть $x$ - количество палаток, а $y$ - количество домиков. Тогда:
$\begin{cases} x + y = ? \\ 2x + 4y = 70 \end{cases}$
**Допущение:** Всего палаток и домиков 18 (из другого варианта). Тогда
$\begin{cases} x + y = 18 \\ 2x + 4y = 70 \end{cases}$
Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 18 - y$. Подставим во второе уравнение:
$2(18 - y) + 4y = 70$
$36 - 2y + 4y = 70$
$2y = 34$
$y = 17$
Тогда $x = 18 - 17 = 1$
**Ответ: 1 палатка и 17 домиков**
Вариант 2.
1. Решим уравнение $5x^2 - 3x - 2 = 0$ через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$
**Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -0.4$**
2. Упростим выражение $\frac{c^2}{c^2 - 4} - \frac{c}{c - 2}$. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{c^2}{c^2 - 4} - \frac{c}{c - 2} = \frac{c^2}{(c - 2)(c + 2)} - \frac{c}{c - 2} = \frac{c^2 - c(c + 2)}{(c - 2)(c + 2)} = \frac{c^2 - c^2 - 2c}{(c - 2)(c + 2)} = \frac{-2c}{c^2 - 4}$
**Ответ: $\frac{-2c}{c^2 - 4}$**
3. Решим неравенство $5(x + 4) < 2(4x - 5)$. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$5x + 20 < 8x - 10$
$-3x < -30$
$x > 10$
**Ответ: $x > 10$**
4. a) Чтобы построить график функции $y = 2x - 4$, нужно знать две точки. Например:
Если $x = 0$, то $y = -4$. Первая точка $(0, -4)$.
Если $x = 2$, то $y = 0$. Вторая точка $(2, 0)$.
Через эти две точки можно провести прямую. Это и будет график функции.
б) Чтобы проверить, проходит ли график через точку $B(-45, -86)$, подставим координаты точки в уравнение:
$-86 = 2 \cdot (-45) - 4$
$-86 = -90 - 4$
$-86 = -94$
Равенство не выполняется, значит, график не проходит через точку $B(-45, -86)$.
**Ответ: нет, не проходит**
5. Решим неравенство $x^2 - 9 \ge 0$. Разложим левую часть на множители:
$(x - 3)(x + 3) \ge 0$
Решением этого неравенства являются интервалы $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$.
**Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$**
6. Представим выражение $\frac{c^7 c^{-3}}{c^6}$ в виде степени:
$\frac{c^7 c^{-3}}{c^6} = \frac{c^{7-3}}{c^6} = \frac{c^4}{c^6} = c^{4-6} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$
**Ответ: $\frac{1}{c^2}$**
