Ты просишь доказать неравенство 28a – 32 ≤ 7a² – 4

Давай решим неравенства и докажем утверждения из твоего задания. Я постараюсь объяснить всё так, чтобы тебе было понятно. 12. Докажите неравенство: 1) $28a - 32 \le 7a^2 - 4$ Чтобы доказать это неравенство, нужно перенести все члены в одну сторону и привести подобные: $7a^2 - 28a + 28 \ge 0$ Разделим обе части на 7: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$ $(a - 2)^2 \ge 0$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Значит, неравенство верно. 2) $9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$ Преобразуем выражение: $(3x)^2 - 2(3x)y + y^2 + 3y^2 \ge 0$ $(3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$ Сумма квадратов всегда больше или равна нулю. Неравенство доказано. 3) $3(b - 1) < b(b + 1)$ $3b - 3 < b^2 + b$ $b^2 - 2b + 3 > 0$ $(b - 1)^2 + 2 > 0$ Так как квадрат плюс положительное число всегда больше нуля, неравенство верно. 4) $(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)$ Раскроем скобки: $4p^2 + 4p - p - 1 - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$ $4p^2 + 3p - 1 - p^2 + 9 > 3p^2 + 3p$ $3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p$ $8 > 0$ Это всегда верно. 13. Докажите, что: 1) $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$, если $a \ge 6$ Разложим на множители: $a^2(a - 6) + (a - 6) \ge 0$ $(a^2 + 1)(a - 6) \ge 0$ Так как $a \ge 6$, то $(a - 6) \ge 0$ и $(a^2 + 1) > 0$. Значит, произведение больше или равно нулю. 2) $ab + 1 > a + b$, если $a > 1$ и $b > 1$ Преобразуем неравенство: $ab - a - b + 1 > 0$ $a(b - 1) - (b - 1) > 0$ $(a - 1)(b - 1) > 0$ Так как $a > 1$ и $b > 1$, то $(a - 1) > 0$ и $(b - 1) > 0$. Значит, произведение положительно. 3) $\frac{a + 3}{3} + \frac{3a - 2}{4} < a$, если $a < -6$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{4(a + 3) + 3(3a - 2)}{12} < a$ $\frac{4a + 12 + 9a - 6}{12} < a$ $\frac{13a + 6}{12} < a$ $13a + 6 < 12a$ $a < -6$ Это условие дано в задаче, значит, неравенство верно. 14. Докажите, что: 1) $ab(b - a) \le a^3 - b^3$, если $a \ge b$ Перенесем все в одну сторону: $a^3 - b^3 - ab(b - a) \ge 0$ $a^3 - b^3 + ab(a - b) \ge 0$ $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) \ge 0$ $(a - b)(a^2 + 2ab + b^2) \ge 0$ $(a - b)(a + b)^2 \ge 0$ Так как $a \ge b$, то $(a - b) \ge 0$ и $(a + b)^2 \ge 0$. Значит, неравенство верно. 2) $\frac{a - 1}{2} - \frac{a - 2}{3} > \frac{1}{2}$, если $a > 2$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{3(a - 1) - 2(a - 2)}{6} > \frac{1}{2}$ $\frac{3a - 3 - 2a + 4}{6} > \frac{1}{2}$ $\frac{a + 1}{6} > \frac{1}{2}$ $a + 1 > 3$ $a > 2$ Это условие дано в задаче. 15. Сравните сумму квадратов двух произвольных чисел и их удвоенное произведение. Пусть числа $x$ и $y$. Нужно сравнить $x^2 + y^2$ и $2xy$. $x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2$ Так как $(x - y)^2 \ge 0$, то $x^2 + y^2 \ge 2xy$. 16. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из этих чисел и произведение крайних. Пусть числа $n - 1$, $n$, $n + 1$. Квадрат среднего: $n^2$. Произведение крайних: $(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1$. $n^2 > n^2 - 1$, значит, квадрат среднего числа больше произведения крайних. 2) Сравните удвоенный квадрат среднего из этих чисел и сумму квадратов двух других. Удвоенный квадрат среднего: $2n^2$. Сумма квадратов двух других: $(n - 1)^2 + (n + 1)^2 = n^2 - 2n + 1 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2$. $2n^2 < 2n^2 + 2$, значит, удвоенный квадрат среднего меньше суммы квадратов двух других.