как решить номер 903 пример 2

Привет! Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно использовать производную. Дана функция: $$y = \frac{(x-2)(8-x)}{x^2}$$ **Шаг 1: Найдём область определения функции.** Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. **Шаг 2: Найдём производную функции.** Сначала упростим функцию, раскрыв скобки в числителе: $$(x-2)(8-x) = 8x - x^2 - 16 + 2x = -x^2 + 10x - 16$$ Теперь функция выглядит так: $$y = \frac{-x^2 + 10x - 16}{x^2}$$ Мы можем разделить каждый член числителя на $x^2$: $$y = \frac{-x^2}{x^2} + \frac{10x}{x^2} - \frac{16}{x^2} = -1 + \frac{10}{x} - \frac{16}{x^2}$$ Для удобства записи производной перепишем с отрицательными степенями: $$y = -1 + 10x^{-1} - 16x^{-2}$$ Теперь найдём производную $y'$: $$y' = (-1)' + (10x^{-1})' - (16x^{-2})'$$ $$y' = 0 + 10 \cdot (-1)x^{-1-1} - 16 \cdot (-2)x^{-2-1}$$ $$y' = -10x^{-2} + 32x^{-3}$$ Запишем производную в виде дроби: $$y' = -\frac{10}{x^2} + \frac{32}{x^3}$$ Приведём к общему знаменателю: $$y' = \frac{-10x}{x^3} + \frac{32}{x^3} = \frac{32 - 10x}{x^3}$$ **Шаг 3: Найдём критические точки.** Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует. Производная не существует при $x = 0$, но эта точка уже исключена из области определения функции. Приравняем производную к нулю: $$\frac{32 - 10x}{x^3} = 0$$ Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю: $$32 - 10x = 0$$ $$10x = 32$$ $$x = \frac{32}{10} = 3.2$$ Итак, у нас есть две важные точки на числовой прямой: $x=0$ (точка, где функция не определена) и $x=3.2$ (критическая точка). **Шаг 4: Определим знаки производной на интервалах.** Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $$(-\infty, 0)$$, $$(0, 3.2)$$, $$(3.2, +\infty)$$ Выберем по одной точке в каждом интервале и подставим её в $y' = \frac{32 - 10x}{x^3}$: * **Интервал $(-\infty, 0)$:** Возьмём $x = -1$. $$y'(-1) = \frac{32 - 10(-1)}{(-1)^3} = \frac{32 + 10}{-1} = \frac{42}{-1} = -42$$ Производная отрицательна ($y' < 0$), значит, функция убывает на этом интервале. * **Интервал $(0, 3.2)$:** Возьмём $x = 1$. $$y'(1) = \frac{32 - 10(1)}{(1)^3} = \frac{32 - 10}{1} = \frac{22}{1} = 22$$ Производная положительна ($y' > 0$), значит, функция возрастает на этом интервале. * **Интервал $(3.2, +\infty)$:** Возьмём $x = 4$. $$y'(4) = \frac{32 - 10(4)}{(4)^3} = \frac{32 - 40}{64} = \frac{-8}{64} = -\frac{1}{8}$$ Производная отрицательна ($y' < 0$), значит, функция убывает на этом интервале. **Итог:** Функция возрастает на интервале $(0, 3.2)$. Функция убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(3.2, +\infty)$.