Реши уравнения: а) $\frac{2}{x} + \frac{10}{x^2 - 2x} = \frac{1 + 2x}{x - 2}$ и б) $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{12}{x^3 - 9x}$

Привет! Давай решим эти уравнения по очереди. Нам нужно будет привести дроби к общему знаменателю и аккуратно всё посчитать. а) $\frac{2}{x} + \frac{10}{x^2 - 2x} = \frac{1 + 2x}{x - 2}$ Сначала разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2 - 2x = x(x - 2)$. Теперь наше уравнение выглядит так: $$\frac{2}{x} + \frac{10}{x(x - 2)} = \frac{1 + 2x}{x - 2}$$ Найдём общий знаменатель для всех дробей. Это будет $x(x - 2)$. Теперь очень важное правило: знаменатель не может быть равен нулю! Значит, $x \neq 0$ и $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Приводим все дроби к общему знаменателю: $$\frac{2(x - 2)}{x(x - 2)} + \frac{10}{x(x - 2)} = \frac{x(1 + 2x)}{x(x - 2)}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковые и не равны нулю, мы можем просто приравнять числители: $$2(x - 2) + 10 = x(1 + 2x)$$ Раскрываем скобки: $$2x - 4 + 10 = x + 2x^2$$ Упрощаем левую часть: $$2x + 6 = x + 2x^2$$ Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$2x^2 + x - 2x - 6 = 0$$ $$2x^2 - x - 6 = 0$$ Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $a = 2, b = -1, c = -6$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$$ Теперь проверим наши корни с условиями $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Первый корень $x_1 = 2$ не подходит, потому что при нём знаменатель обращается в ноль. А вот $x_2 = -1.5$ подходит. **Ответ: $x = -1.5$** б) $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{12}{x^3 - 9x}$ Снова начнём с разложения знаменателей на множители: $x^2 - 3x = x(x - 3)$ $x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$ (здесь мы использовали формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$) Теперь наше уравнение выглядит так: $$\frac{2}{x(x - 3)} - \frac{1}{x + 3} = \frac{12}{x(x - 3)(x + 3)}$$ Найдём общий знаменатель для всех дробей. Это будет $x(x - 3)(x + 3)$. И снова, знаменатель не может быть равен нулю! Значит, $x \neq 0$, $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$, и $x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$. Приводим все дроби к общему знаменателю: $$\frac{2(x + 3)}{x(x - 3)(x + 3)} - \frac{x(x - 3)}{x(x - 3)(x + 3)} = \frac{12}{x(x - 3)(x + 3)}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковые и не равны нулю, мы можем приравнять числители: $$2(x + 3) - x(x - 3) = 12$$ Раскрываем скобки: $$2x + 6 - (x^2 - 3x) = 12$$ $$2x + 6 - x^2 + 3x = 12$$ Собираем похожие слагаемые и переносим все члены в одну сторону: $$-x^2 + 5x + 6 - 12 = 0$$ $$-x^2 + 5x - 6 = 0$$ Чтобы было удобнее работать, умножим всё на -1: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $a = 1, b = -5, c = 6$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Теперь проверим наши корни с условиями $x \neq 0$, $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Первый корень $x_1 = 3$ не подходит, потому что при нём знаменатель обращается в ноль. А вот $x_2 = 2$ подходит. **Ответ: $x = 2$**