Пусть a < b. Сравни числа a + x и b + x.

Привет! Давай разберём эти задачки. Всё довольно просто, сейчас увидишь! **Номер 44** Здесь нам дано, что $a < b$. Нужно сравнить выражения. Основное правило: если к обеим частям неравенства прибавить или отнять одно и то же число, знак неравенства не изменится. 1) Сравнить $a+x$ и $b+x$. Прибавим $x$ к обеим частям $a < b$: $$a + x < b + x$$ 2) Сравнить $a-5$ и $b-5$. Вычтем 5 из обеих частей $a < b$: $$a - 5 < b - 5$$ **Номер 45** Тут нужно доказать утверждения. Для этого мы будем упрощать левую часть, пока не получим то, что в правой. 1) Дано: $4a - 2b > 3a - b$. Доказать: $a > b$. $$4a - 2b > 3a - b$$ Перенесём все $a$ в левую сторону, а все $b$ — в правую. Не забываем менять знаки при переносе. $$4a - 3a > -b + 2b$$ $$a > b$$ Что и требовалось доказать! 2) Дано: $2b - 3a < 3b - 4a$. Доказать: $a < b$. $$2b - 3a < 3b - 4a$$ Снова переносим: $a$ налево, $b$ направо. $$-3a + 4a < 3b - 2b$$ $$a < b$$ Готово! 3) Дано: $b(2a + 1) < a(2b + 1)$. Доказать: $a > b$. Сначала раскроем скобки. $$2ab + b < 2ab + a$$ Теперь уберём одинаковую часть ($2ab$) с обеих сторон. $$b < a$$ Это то же самое, что и $a > b$. Доказано! 4) Дано: $b(1 - 3a) > a(1 - 3b)$. Доказать: $a < b$. Раскрываем скобки. $$b - 3ab > a - 3ab$$ Убираем $-3ab$ с обеих сторон. $$b > a$$ Это то же самое, что и $a < b$. Снова получилось! **Номер 46** Здесь всё похоже на предыдущий номер. Упрощаем и доказываем. 1) Дано: $x(x + 2) < (x - 2)(x + 3)$. Доказать: $x < -6$. Раскроем скобки. $$x^2 + 2x < x^2 + 3x - 2x - 6$$ Приведём подобные слагаемые в правой части. $$x^2 + 2x < x^2 + x - 6$$ Вычтем $x^2$ из обеих частей. $$2x < x - 6$$ Перенесём $x$ влево. $$2x - x < -6$$ $$x < -6$$ Доказали! 2) Дано: $x(x + 6) > (x + 1)(x + 4)$. Доказать: $x > 4$. $$x^2 + 6x > x^2 + 4x + x + 4$$ $$x^2 + 6x > x^2 + 5x + 4$$ $$6x > 5x + 4$$ $$6x - 5x > 4$$ $$x > 4$$ И это доказали! 3) Дано: $(x - 3)^2 < x(x - 5)$. Доказать: $x > 9$. В левой части используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $$x^2 - 6x + 9 < x^2 - 5x$$ Вычитаем $x^2$. $$-6x + 9 < -5x$$ Перенесём $-6x$ вправо, чтобы работать с положительными коэффициентами. $$9 < -5x + 6x$$ $$9 < x$$ Это то же самое, что $x > 9$. Доказано! 4) Дано: $x(3 + x) < (x + 2)^2$. Доказать: $x > -4$. В правой части формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $$3x + x^2 < x^2 + 4x + 4$$ Убираем $x^2$. $$3x < 4x + 4$$ Перенесём $4x$ влево. $$3x - 4x < 4$$ $$-x < 4$$ Теперь умножим обе части на -1. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный! $$x > -4$$ Готово! **Номер 47** Здесь нужно умножить обе части неравенства на заданное число. 1) $3,35 < 4,5$ на 4. Умножаем на положительное число (4), знак не меняется. $$3,35 \cdot 4 < 4,5 \cdot 4$$ $$13,4 < 18$$ 2) $3,8 > 2,4$ на 5. Умножаем на положительное число (5), знак не меняется. $$3,8 \cdot 5 > 2,4 \cdot 5$$ $$19 > 12$$ 3) $\frac{5}{6} > \frac{2}{3}$ на -12. Умножаем на отрицательное число (-12), знак неравенства меняем на противоположный. $$\frac{5}{6} \cdot (-12) < \frac{2}{3} \cdot (-12)$$ $$-10 < -8$$ 4) $\frac{3}{4} < \frac{7}{8}$ на -16. Умножаем на отрицательное число (-16), знак неравенства меняем на противоположный. $$\frac{3}{4} \cdot (-16) > \frac{7}{8} \cdot (-16)$$ $$-12 > -14$$ Надеюсь, всё было понятно! Если что, спрашивай.