Представь в виде степени с основанием x: (x⁶)²

Привет! Давай вместе разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется! ### 1. Представьте в виде степени с основанием x Здесь нам понадобятся правила работы со степенями: - При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. - При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. - Знак «минус» в основании исчезает, если степень чётная, и остаётся, если нечётная. 1) $(x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}$ 2) $(-x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$ (степень 4 чётная, поэтому минус исчезает) 3) $x^4 x^3 = x^{4+3} = x^7$ 4) $((x^3)^2)^5 = (x^{3 \cdot 2})^5 = (x^6)^5 = x^{6 \cdot 5} = x^{30}$ 5) **Допущение:** Задание на фото обрезано, решаю для выражения $(x^{10})^3$. $(x^{10})^3 = x^{10 \cdot 3} = x^{30}$ 6) **Допущение:** Задание на фото обрезано, решаю для выражения $(-x^6)^7$. $(-x^6)^7 = -x^{6 \cdot 7} = -x^{42}$ (степень 7 нечётная, поэтому минус остаётся) ### 2. Упростите выражение Здесь главное — аккуратно раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые. 1) $(x - 2)(x - 11) - 2x(4 - 3x) = (x^2 - 11x - 2x + 22) - (8x - 6x^2) = x^2 - 13x + 22 - 8x + 6x^2 = \textbf{7x^2 - 21x + 22}$ 2) $(a + 6)(a - 3) + (a - 4)(a + 5) = (a^2 - 3a + 6a - 18) + (a^2 + 5a - 4a - 20) = a^2 + 3a - 18 + a^2 + a - 20 = \textbf{2a^2 + 4a - 38}$ 3) $(y - 8)(2y - 1) - (3y + 1)(5y - 2) = (2y^2 - y - 16y + 8) - (15y^2 - 6y + 5y - 2) = (2y^2 - 17y + 8) - (15y^2 - y - 2) = 2y^2 - 17y + 8 - 15y^2 + y + 2 = \textbf{-13y^2 - 16y + 10}$ 4) $(x + 2)^2 - (x - 3)(x + 3) = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 = \textbf{4x + 13}$ 5) $(7a - 5b)(7a + 5b) - (4a + 7b)^2 = (49a^2 - 25b^2) - (16a^2 + 56ab + 49b^2) = 49a^2 - 25b^2 - 16a^2 - 56ab - 49b^2 = \textbf{33a^2 - 56ab - 74b^2}$ 6) $(y - 2)(y + 3) - (y - 1)^2 + (5 - y)(y + 5) = (y^2 + 3y - 2y - 6) - (y^2 - 2y + 1) + (25 - y^2) = y^2 + y - 6 - y^2 + 2y - 1 + 25 - y^2 = \textbf{-y^2 + 3y + 18}$ ### 3. Разложите на множители Тут нужно найти общий множитель и вынести его за скобки. 1) $8a - 12b = \textbf{4(2a - 3b)}$ 2) $3a - ab = \textbf{a(3 - b)}$ 3) $6ax + 6ay = \textbf{6a(x + y)}$ 4) $4a^2 + 8ac = \textbf{4a(a + 2c)}$ 5) $a^5 + a^2 = a^2(a^3 + 1)$. Здесь можно применить формулу суммы кубов: $a^2(a+1)(a^2-a+1)$. **Ответ: $a^2(a+1)(a^2-a+1)$** 6) $12x^2y - 3xy = \textbf{3xy(4x - 1)}$ 7) $21a^2b + 28ab^2 = \textbf{7ab(3a + 4b)}$ 8) $-3x^6 + 12x^{12} = 3x^6(4x^6 - 1)$. Выражение в скобках — это разность квадратов. **Ответ: $3x^6(2x^3 - 1)(2x^3 + 1)$** 9) $4a^2 - 8a^3 + 12a^4 = \textbf{4a^2(1 - 2a + 3a^2)}$ 10) **Допущение:** Задание на фото обрезано, решаю для $6m^3n^2 + 9m^2n - 18mn$. **Ответ: $3mn(2m^2n + 3m - 6)$** ### 4. Разложите на множители Используем метод группировки: объединяем слагаемые в пары, выносим в каждой паре общий множитель, а потом выносим общую скобку. 1) $5a + 5b - am - bm = (5a + 5b) - (am + bm) = 5(a + b) - m(a + b) = \textbf{(5 - m)(a + b)}$ 2) $6m - mn - 6 + n = (6m - 6) - (mn - n) = 6(m - 1) - n(m - 1) = \textbf{(6 - n)(m - 1)}$ 3) $a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = (a^6 + a^4) - (3a^2 + 3) = a^4(a^2 + 1) - 3(a^2 + 1) = \textbf{(a^4 - 3)(a^2 + 1)}$ 4) $10a^2b - 2a^2 + 5b^2 - b = (10a^2b - 2a^2) + (5b^2 - b)$ — такое выражение не группируется. **Допущение:** Вероятно, в условии опечатка и должно быть $10a^2b - 2a^2 + 5ab^2 - b^2$. **Ответ: Недостаточно данных для точного решения.** 5) $2x^3 - 3x^2y - 4x + 6y = (2x^3 - 3x^2y) - (4x - 6y) = x^2(2x - 3y) - 2(2x - 3y) = \textbf{(x^2 - 2)(2x - 3y)}$ 6) $x^2y - x + xy^2 - y = (x^2y + xy^2) - (x + y) = xy(x+y) - 1(x+y) = \textbf{(xy - 1)(x + y)}$ ### 5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена Используем формулы сокращённого умножения: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ 1) $a^2 + 8a + 16 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = \textbf{(a + 4)^2}$ 2) $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = \textbf{(3x - 1)^2}$ 3) $121m^2 - 88mn + 16n^2 = (11m)^2 - 2 \cdot 11m \cdot 4n + (4n)^2 = \textbf{(11m - 4n)^2}$ 4) $24ab + 36a^2 + 4b^2 = 36a^2 + 24ab + 4b^2 = (6a)^2 + 2 \cdot 6a \cdot 2b + (2b)^2 = \textbf{(6a + 2b)^2}$ 5) $a^6 - 4a^3b^2 + 4b^4$. **Допущение:** Вероятно, в условии опечатка, должно быть $a^6-4a^3b^2+4b^4$. $a^6 - 4a^3 + 4b^4 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = \textbf{(a^3 - 2b^2)^2}$ 6) $25p^{10} + 10p^5 + 1 = (5p^5)^2 + 2 \cdot 5p^5 \cdot 1 + 1^2 = \textbf{(5p^5 + 1)^2}$ ### 6. Разложите на множители Здесь пригодится формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Задания 2, 3 и 4 не видны на фото, поэтому решу те, что есть. 1) $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = \textbf{(x - 2)(x + 2)}$ 5) $x^2y^2 - \frac{4}{9} = (xy)^2 - (\frac{2}{3})^2 = \textbf{(xy - \frac{2}{3})(xy + \frac{2}{3})}$ 6) $a^4 - b^6 = (a^2)^2 - (b^3)^2 = \textbf{(a^2 - b^3)(a^2 + b^3)}$