Реши уравнение x⁴ - 17x² + 16 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Они выглядят сложными, но на самом деле решаются довольно просто с помощью одного хитрого приёма — замены переменной. ### а) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$ 1. Это биквадратное уравнение. Давай представим, что $x^2 = y$. Тогда $x^4$ будет равно $(x^2)^2 = y^2$. Сделаем замену: $$y^2 - 17y + 16 = 0$$ 2. Теперь у нас обычное квадратное уравнение. Найдём его корни. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $17$, произведение $16$. Легко догадаться, что это числа $1$ и $16$. $y_1 = 1$, $y_2 = 16$. 3. Теперь вернёмся к нашей замене и найдём $x$: - Если $x^2 = 1$, то $x = 1$ и $x = -1$. - Если $x^2 = 16$, то $x = 4$ и $x = -4$. **Ответ: -4; -1; 1; 4** ### б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$ 1. Здесь тоже можно сделать замену. Пусть $x^3 = y$, тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$. $$y^2 - 9y + 8 = 0$$ 2. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $9$, произведение $8$. Значит, корни $1$ и $8$. $y_1 = 1$, $y_2 = 8$. 3. Возвращаемся к $x$: - Если $x^3 = 1$, то $x = 1$. - Если $x^3 = 8$, то $x = 2$ (потому что $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$). **Ответ: 1; 2** ### в) $9x^4 - 40x^2 + 16 = 0$ 1. Снова биквадратное уравнение. Пусть $x^2 = y$. Тогда получаем: $$9y^2 - 40y + 16 = 0$$ 2. Решим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 - 576 = 1024 = 32^2$. $y_1 = \frac{40 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$. $y_2 = \frac{40 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4$. 3. Теперь найдём $x$: - Если $x^2 = \frac{4}{9}$, то $x = \frac{2}{3}$ и $x = -\frac{2}{3}$. - Если $x^2 = 4$, то $x = 2$ и $x = -2$. **Ответ: -2; -$\frac{2}{3}$; $\frac{2}{3}$; 2** ### г) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$ 1. И снова замена. Пусть $x^3 = y$. $$y^2 - 7y - 8 = 0$$ 2. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $7$, произведение $-8$. Это числа $8$ и $-1$. $y_1 = 8$, $y_2 = -1$. 3. Найдём $x$: - Если $x^3 = 8$, то $x = 2$. - Если $x^3 = -1$, то $x = -1$. **Ответ: -1; 2** У тебя отлично получается! Если что-то непонятно, спрашивай.