Проверь, выполнив деление: а) 2,(3) = 2 1/3

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Это отличная тренировка! **Задание 9. Проверьте, выполнив деление** Чтобы проверить равенства, мы будем переводить обыкновенные дроби в десятичные, просто деля числитель на знаменатель. а) $2,(3) = 2\frac{1}{3}$ Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$. Теперь разделим 7 на 3: $$ \begin{array}{cc|l} 7 & & 3 \\ \hline 6 & & 2,33... \\ \hline 1 & 0 \\ & 9 \\ \hline & 1 & 0 \\ & & 9 \\ \hline & & 1 \end{array} $$ Получается $2,333...$, что равно $2,(3)$. **Равенство верное.** б) $0,1(6) = \frac{1}{6}$ Разделим 1 на 6: $$ \begin{array}{ccc|l} 1 & , & 0 & 6 \\ \hline 0 & & & 0,166... \\ \hline 1 & 0 & \\ & 6 & \\ \hline & 4 & 0 \\ & 3 & 6 \\ \hline & & 4 & 0 \\ & & 3 & 6 \\ \hline & & & 4 \end{array} $$ Получается $0,1666...$, что равно $0,1(6)$. **Равенство верное.** в) $7,(18) = 7\frac{2}{11}$ Переведём $7\frac{2}{11}$ в неправильную дробь: $7\frac{2}{11} = \frac{7 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{79}{11}$. Разделим 79 на 11: $$ \begin{array}{ccc|l} 7 & 9 & & 11 \\ \hline 7 & 7 & & 7,1818... \\ \hline & 2 & 0 \\ & 1 & 1 \\ \hline & & 9 & 0 \\ & & 8 & 8 \\ \hline & & & 2 \end{array} $$ В остатке снова 2, значит, цифры 1 и 8 будут повторяться. Получаем $7,1818...$, что равно $7,(18)$. **Равенство верное.** г) $3,4(6) = 3\frac{7}{15}$ Переведём $3\frac{7}{15}$ в неправильную дробь: $3\frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{52}{15}$. Разделим 52 на 15: $$ \begin{array}{ccc|l} 5 & 2 & & 15 \\ \hline 4 & 5 & & 3,466... \\ \hline & 7 & 0 \\ & 6 & 0 \\ \hline & 1 & 0 & 0 \\ & & 9 & 0 \\ \hline & & 1 & 0 \end{array} $$ В остатке снова 10, значит, цифра 6 будет повторяться. Получаем $3,4666...$, что равно $3,4(6)$. **Равенство верное.** --- **Задание 10. Доказательство** Давай докажем, что если мы вычитаем, умножаем или делим два рациональных числа, результат тоже будет рациональным числом. Сначала вспомним, что такое **рациональное число**. Это любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — целое число, не равное нулю. Возьмём два любых рациональных числа. Назовём их $x$ и $y$. Мы можем записать их в виде дробей: $x = \frac{a}{b}$ $y = \frac{c}{d}$ Здесь $a$ и $c$ — целые числа, а $b$ и $d$ — целые числа, не равные нулю. Теперь проверим операции: 1. **Разность** $$x - y = \frac{a}{b} - \frac{c}{d}$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{b \cdot d} = \frac{ad - cb}{bd}$$ - Числитель ($ad - cb$) — это целое число (потому что действия с целыми числами дают целые числа). - Знаменатель ($bd$) — это целое число, и оно не равно нулю (потому что $b \neq 0$ и $d \neq 0$). Значит, результат — это дробь, где в числителе и знаменателе целые числа, а знаменатель не ноль. Это и есть определение рационального числа. Доказано! 2. **Произведение** $$x \cdot y = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$ - Числитель ($ac$) — целое число. - Знаменатель ($bd$) — целое число, не равное нулю. Результат снова является рациональным числом. Доказано! 3. **Частное** $$x \div y = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$$ По условию делитель не равен нулю, значит $y \neq 0$, а следовательно и $c \neq 0$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевёрнутую: $$\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$ - Числитель ($ad$) — целое число. - Знаменатель ($bc$) — целое число, и оно не равно нулю (потому что $b \neq 0$ и $c \neq 0$). И этот результат тоже является рациональным числом. Доказано! Отлично справились! Если что-то непонятно, спрашивай.