Реши задания по алгебре с матрицами, которые показаны на доске

Привет! Давай разберёмся с заданиями по алгебре с доски. Это тема «Матрицы». Сначала может показаться сложно, но я помогу тебе всё понять. ### Задание 1. Вычислить $A+B$ Даны матрицы: $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 7 & 6 & -5 \\ -1 & 8 & 9 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -4 \\ -7 & -5 & 5 \\ 1 & 8 & -8 \end{pmatrix} $$ Чтобы сложить две матрицы, нужно просто сложить элементы, которые стоят на одинаковых местах (например, верхний левый с верхним левым и так далее). $$ A+B = \begin{pmatrix} 2+(-1) & -3+3 & 4+(-4) \\ 7+(-7) & 6+(-5) & -5+5 \\ -1+1 & 8+8 & 9+(-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \end{pmatrix} $$ Обрати внимание, на доске в ответе получилась единичная матрица. Возможно, в условии была опечатка, или в вычислениях на доске. По нашему расчёту в последней строке получается $0, 16, 1$. ### Задание 2. Вычислить $3A+4B-2C$ Даны матрицы: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -3 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} $$ Это задание уже решено на доске, давай проверим шаги. 1. **Умножаем каждую матрицу на её число (скаляр):** $$ 3A = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 9 & -12 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} $$ $$ 4B = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & 12 \\ 4 & -20 \end{pmatrix} $$ $$ 2C = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -3 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 2 & -6 \\ 16 & 12 \end{pmatrix} $$ 2. **Складываем и вычитаем полученные матрицы:** $$ 3A+4B-2C = \begin{pmatrix} 3+4-6 & 0-4-8 \\ 9+8-2 & -12+12-(-6) \\ 6+4-16 & 3-20-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -12 \\ 15 & 6 \\ -6 & -29 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** Всё верно, результат совпадает с решением на доске. $$ \begin{pmatrix} 1 & -12 \\ 15 & 6 \\ -6 & -29 \end{pmatrix} $$ ### Задание 3. Найти произведение матриц При умножении матриц мы умножаем каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй. Это правило «строка на столбец». **а)** $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-2)+2\cdot3 & 1\cdot4+2\cdot1 \\ -3\cdot(-2)+4\cdot3 & -3\cdot4+4\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 18 & -8 \end{pmatrix} $$ **а) (второй пример)** $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1+(-1)\cdot2 & 2\cdot1+(-1)\cdot(-1) \\ 1\cdot1+1\cdot2 & 1\cdot1+1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} $$ **в)** $$ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot9+3\cdot(-3) & 1\cdot6+3\cdot2 \\ 2\cdot9+6\cdot(-3) & 2\cdot6+6\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 12 \\ 0 & 24 \end{pmatrix} $$ **г)** $$ \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5(-2)+4(3) & 5(5)+4(4) \\ 2(-2)+5(3) & 2(5)+5(4) \\ 3(-2)+1(3) & 3(5)+1(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \end{pmatrix} $$ **д)** $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1)+(-1)(2)+3(-1) \\ 4(1)+2(2)+0(-1) \\ -1(1)+1(2)+1(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Надеюсь, эти объяснения помогли тебе разобраться! Если что-то осталось непонятным, спрашивай.