Постройте график функции y = 2x - 3, найдите область определения и область значений

Привет! Давай разберемся с этими заданиями. Здесь функции разных типов, я покажу по одному примеру из каждого номера, чтобы было понятно, как их решать. ### 1.7 а) $y = 2x - 3$ Это линейная функция, её график — прямая линия. * **Как построить график:** Чтобы построить прямую, нам достаточно найти всего две точки. Давай возьмём два любых значения для $x$ и посчитаем, какой получится $y$. 1. Пусть $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получилась точка $(0; -3)$. 2. Пусть $x = 2$. Тогда $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Получилась точка $(2; 1)$. Теперь отметь эти две точки на координатной плоскости и проведи через них прямую линию. Это и будет график функции. * **Область определения ($D(y)$):** Это все значения, которые может принимать $x$. В эту функцию вместо $x$ можно подставить абсолютно любое число (нет деления на ноль или корней). **Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** * **Область значений ($E(y)$):** Это все значения, которые может принимать $y$. Так как график — бесконечная прямая, $y$ тоже может быть любым числом. **Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$** ### 1.8 а) $y = x^2 + 2$ Это квадратичная функция, её график — парабола. * **Как построить график:** Это график обычной параболы $y = x^2$, но сдвинутый на 2 единицы вверх по оси $Y$. 1. Вершина параболы будет в точке $(0; 2)$. 2. Ветки параболы направлены вверх, потому что коэффициент при $x^2$ положительный (равен 1). 3. Для точности можно найти пару точек: * Если $x=1$, $y = 1^2 + 2 = 3$. Точка $(1; 3)$. * Если $x=-1$, $y = (-1)^2 + 2 = 3$. Точка $(-1; 3)$. * Если $x=2$, $y = 2^2 + 2 = 6$. Точка $(2; 6)$. * **Область определения ($D(y)$):** Вместо $x$ можно подставить любое число. **Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** * **Область значений ($E(y)$):** Самая нижняя точка графика (вершина) имеет координату $y=2$. Все остальные точки графика находятся выше. **Ответ: $E(y) = [2; +\infty)$** ### 1.9 а) $y = \sqrt{x}$ Это функция квадратного корня. * **Как построить график:** График этой функции — ветвь параболы, которая «лежит на боку». Она начинается в точке $(0;0)$ и идёт вправо и вверх. Возьмём несколько удобных точек, из которых легко извлекается корень: * $x=0, y=\sqrt{0}=0$. Точка $(0; 0)$. * $x=1, y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1; 1)$. * $x=4, y=\sqrt{4}=2$. Точка $(4; 2)$. * $x=9, y=\sqrt{9}=3$. Точка $(9; 3)$. Соедини эти точки плавной линией. * **Область определения ($D(y)$):** Выражение под знаком корня не может быть отрицательным. Значит, $x$ должен быть больше или равен нулю. **Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$** * **Область значений ($E(y)$):** Результат извлечения арифметического квадратного корня — всегда неотрицательное число. **Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$** ### 1.10 а) $y = x^2 + 3x - 28$ Это тоже квадратичная функция, и её график — парабола. * **Как построить график:** Ветки параболы направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1). Чтобы построить её, найдём вершину и точки пересечения с осями. 1. **Вершина:** Координата $x$ вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. $$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$$ Теперь подставим этот $x_0$ в функцию, чтобы найти $y_0$: $$y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 28 = 2.25 - 4.5 - 28 = -30.25$$ Вершина находится в точке $(-1.5; -30.25)$. 2. **Пересечение с осью Y:** Подставим $x=0$. Получим $y = -28$. Точка $(0; -28)$. 3. **Пересечение с осью X (нули функции):** Решим уравнение $x^2 + 3x - 28 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$. Точки пересечения с осью X: $(4; 0)$ и $(-7; 0)$. Отметь эти точки и построй параболу. * **Область определения ($D(y)$):** Для любой параболы $x$ может быть любым числом. **Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** * **Область значений ($E(y)$):** Ветки параболы идут вверх, значит, наименьшее значение $y$ — в вершине. **Ответ: $E(y) = [-30.25; +\infty)$** ### 1.11 а) $y = \frac{1}{x} + 3$ Это дробно-рациональная функция, её график — гипербола. * **Как построить график:** Это график стандартной гиперболы $y = \frac{1}{x}$, сдвинутый на 3 единицы вверх. 1. У графика есть две асимптоты — прямые, к которым он приближается, но никогда не пересекает. * **Вертикальная асимптота:** $x=0$ (потому что на 0 делить нельзя). * **Горизонтальная асимптота:** $y=3$ (из-за сдвига вверх). 2. Найдём несколько точек для каждой ветви: * Если $x=1, y = \frac{1}{1} + 3 = 4$. Точка $(1; 4)$. * Если $x=2, y = \frac{1}{2} + 3 = 3.5$. Точка $(2; 3.5)$. * Если $x=-1, y = \frac{1}{-1} + 3 = 2$. Точка $(-1; 2)$. * Если $x=-2, y = \frac{1}{-2} + 3 = 2.5$. Точка $(-2; 2.5)$. Нарисуй асимптоты пунктиром, отметь точки и построй две ветви гиперболы. * **Область определения ($D(y)$):** Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. **Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$** * **Область значений ($E(y)$):** Дробь $\frac{1}{x}$ никогда не равна нулю. Значит, выражение $\frac{1}{x} + 3$ никогда не будет равно 3. **Ответ: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$** Надеюсь, эти примеры помогут тебе справиться с остальными заданиями! Если что-то непонятно, спрашивай.