Построй график заданной функции y = 2x - 3, найди область определения и область значений функции.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется. Мы пройдём по каждому пункту. ### 1.7. Линейные функции Это функции вида $y = kx+b$, их график — прямая линия. Чтобы построить прямую, достаточно найти две любые точки. а) $y = 2x - 3$ - **График:** Прямая. Например, если $x=0$, то $y=-3$. Если $x=2$, то $y=1$. Строим прямую через точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть $x$ может быть любым числом. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть $y$ тоже может быть любым. б) $y = 6 - 3x$ - **График:** Прямая. Точки для построения: $(0; 6)$ и $(2; 0)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. в) $y = \frac{x}{2} + 4$ - **График:** Прямая. Точки для построения: $(0; 4)$ и $(2; 5)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. г) $y = -\frac{2x}{3} - 3$ - **График:** Прямая. Точки для построения: $(0; -3)$ и $(-3; -1)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. ### 1.8. Квадратичные функции Это функции вида $y = ax^2+c$, их график — парабола с вершиной в точке $(0; c)$. а) $y = x^2 + 2$ - **График:** Парабола $y=x^2$, сдвинутая на 2 единицы вверх. Ветви направлены вверх, вершина в точке $(0; 2)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = [2; +\infty)$. б) $y = 3 - 2x^2$ - **График:** Парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина в точке $(0; 3)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 3]$. в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4$ - **График:** Парабола с ветвями вверх, сдвинутая на 4 единицы вниз. Вершина в точке $(0; -4)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = [-4; +\infty)$. г) $y = -1,5x^2 - 2$ - **График:** Парабола с ветвями вниз, сдвинутая на 2 единицы вниз. Вершина в точке $(0; -2)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; -2]$. ### 1.9. Функции с квадратным корнем а) $y = \sqrt{x}$ - **График:** Ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0;0)$. - **Область определения:** $D(y) = [0; +\infty)$ (под корнем может быть только неотрицательное число). - **Область значений:** $E(y) = [0; +\infty)$. б) $y = \sqrt{x-3}$ - **График:** Такой же, как у $y = \sqrt{x}$, но сдвинутый на 3 единицы вправо. Начинается в точке $(3; 0)$. - **Область определения:** $x-3 \ge 0$, то есть $D(y) = [3; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = [0; +\infty)$. в) $y = -\sqrt{x}$ - **График:** Симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси X. Идёт из точки $(0;0)$ вниз. - **Область определения:** $D(y) = [0; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 0]$. г) $y = -\sqrt{x} + 2$ - **График:** График $y = -\sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы вверх. Начинается в точке $(0; 2)$. - **Область определения:** $D(y) = [0; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 2]$. ### 1.10. Квадратичные функции График — парабола. Для построения полезно найти вершину $x_0 = -\frac{b}{2a}$. а) $y = x^2 + 3x - 28$ - **График:** Парабола, ветви вверх. Вершина: $x_0 = -\frac{3}{2} = -1.5$, $y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 28 = -30.25$. Вершина в точке $(-1.5; -30.25)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = [-30.25; +\infty)$. б) $y = -x^2 - 2x + 24$ - **График:** Парабола, ветви вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{-2}{2(-1)} = -1$, $y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 24 = 25$. Вершина в точке $(-1; 25)$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 25]$. ### 1.11. Дробно-рациональные функции График — гипербола. У неё есть вертикальная и горизонтальная асимптоты — линии, к которым график приближается, но не пересекает. а) $y = \frac{1}{x} + 3$ - **График:** Гипербола $y=\frac{1}{x}$, сдвинутая на 3 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=3$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ (на ноль делить нельзя). - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. б) $y = \frac{5}{x+3}$ - **График:** Гипербола, сдвинутая на 3 единицы влево. Асимптоты: $x=-3$ и $y=0$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. в) $y = \frac{-2}{x} - 1$ - **График:** Гипербола, ветви во II и IV четвертях, сдвинута на 1 единицу вниз. Асимптоты: $x=0$ и $y=-1$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. г) $y = \frac{4}{1-x}$ - **График:** Гипербола. Можно записать как $y=-\frac{4}{x-1}$. Асимптоты: $x=1$ и $y=0$. - **Область определения:** $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. - **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.